Statistiques appliquées : contrôle de qualité et décision d'achat
Un fournisseur de sacs de ciment annonce un poids moyen de 50 kg avec un écart-type de 1,2 kg. L'acheteur prélève un échantillon de 36 sacs et obtient une moyenne de 49,6 kg. Il envisage de refuser la livraison si la moyenne est significativement inférieure à 50 kg, au seuil de 5 %. Par ailleurs, la direction financière étudie deux projets : le projet A rapporte 2 000 000 F CFA dans un an et le projet B rapporte 2 150 000 F CFA dans deux ans. Le taux d'actualisation retenu est de 8 % par an. Le budget disponible ne permet de financer qu'un seul projet.
1. Réalisez le test d'hypothèse au seuil de 5 % et concluez sur l'acceptation de la livraison. Précisez les hypothèses et les limites de la conclusion.
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Hypothèses : H0 : μ = 50 kg (le fournisseur respecte son annonce) ; H1 : μ < 50 kg (sous-poids). Test unilatéral à gauche, seuil α = 0,05.
Statistique : l'écart-type de la population est connu (1,2) et n = 36 ≥ 30, donc on utilise la loi normale : z = (49,6 − 50)/(1,2/√36) = (−0,4)/(0,2) = −2,00.
Valeur critique : au seuil de 5 % unilatéral, z critique = −1,645. Comme −2,00 < −1,645, on rejette H0 : la moyenne observée est significativement inférieure à 50 kg au seuil de 5 %.
Décision : l'acheteur peut refuser la livraison ou exiger un contrôle contradictoire, car le sous-poids est statistiquement établi.
Limites : le résultat dépend de la fiabilité de l'écart-type annoncé ; si l'écart-type réel est plus grand, le test devient non significatif. Un échantillon de 36 sacs ne garantit pas la conformité de l'ensemble du lot : le test porte sur la moyenne, pas sur chaque sac. Enfin, un rejet à 5 % laisse 5 % de risque de se tromper. Il faut donc prévoir une procédure de contre-analyse et une clause contractuelle sur le poids minimal, plutôt qu'une décision fondée sur un seul prélèvement.
Complément : l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne est 49,6 ± 1,96 × 0,2, soit [49,21 ; 49,99], qui ne contient pas 50 : cohérent avec le rejet.
2. Calculez la valeur actuelle nette de chaque projet et déterminez lequel retenir. Discutez la sensibilité au taux d'actualisation.
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Projet A : VA = 2 000 000/(1,08) = 2 000 000/1,08 = 1 851 852 F CFA environ.
Projet B : VA = 2 150 000/(1,08)² = 2 150 000/1,1664 = 1 843 278 F CFA environ.
Si l'on suppose que les deux projets ont le même coût initial, ou qu'aucun investissement initial n'est à financer dans le cadre de la comparaison, le projet A a une valeur actuelle légèrement supérieure (environ 8 574 F CFA d'écart) et doit être retenu.
Attention : la comparaison n'est rigoureuse que si les mises de fonds initiales sont identiques. Si le coût initial diffère, il faut comparer les VAN (VA moins investissement) et non les seules VA, ou calculer un indice de profitabilité. Les données fournies ne mentionnent pas le coût initial : c'est une donnée manquante qui peut inverser la conclusion.
Sensibilité au taux : les deux projets ont des flux positifs et un seul versement. Quand le taux augmente, le projet B, plus éloigné dans le temps, est davantage pénalisé : l'écart en faveur de A se creuse. Quand le taux baisse, B se rapproche de A. Le taux d'indifférence est celui où 2 000 000/(1+i) = 2 150 000/(1+i)², soit (1+i) = 2 150 000/2 000 000 = 1,075, donc i = 7,5 %. En dessous de 7,5 %, B est préférable ; au-dessus, A l'emporte. Au taux de 8 %, A est donc retenu, mais la marge est très faible : une petite erreur sur le taux suffit à changer la décision. Il convient de vérifier le taux d'actualisation retenu et l'horizon réel des projets avant de s'engager.