La chute d'un bloc sur un plan incliné
Un bloc de masse 2 kg glisse sur un plan incliné à 30° par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,20. On prend g = 9,8 m/s². Le bloc part du repos et parcourt 3 m le long de la pente. Un élève calcule l'accélération en écrivant a = g·sin(30°) = 4,9 m/s², sans tenir compte du frottement. Un autre affirme que le frottement est négligeable car la masse est faible. Le professeur demande de trancher par le calcul et de vérifier la cohérence énergétique du résultat.
1. Calculez l'accélération réelle du bloc et comparez-la à la valeur de l'élève.
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Forces le long de la pente : composante du poids, m·g·sin(30°) vers le bas ; frottement cinétique, f = μ·N, vers le haut. La normale vaut N = m·g·cos(30°).
Donc m·a = m·g·sin(30°) − μ·m·g·cos(30°), soit a = g[sin(30°) − μ·cos(30°)].
Calcul : sin(30°) = 0,5 ; cos(30°) ≈ 0,866 ; μ·cos(30°) = 0,20 × 0,866 ≈ 0,173.
a ≈ 9,8 × (0,5 − 0,173) = 9,8 × 0,327 ≈ 3,2 m/s².
L'élève obtient 4,9 m/s² : il surestime l'accélération d'environ 53 %. Le frottement n'est pas négligeable, même si la masse est faible : la masse s'annule dans l'équation, donc son argument est faux. Le coefficient 0,20 réduit l'accélération d'un tiers environ.
2. Vérifiez la cohérence énergétique : calculez la vitesse finale par la cinématique, puis par le bilan d'énergie, et concluez.
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Par la cinématique : v² = 2·a·d = 2 × 3,2 × 3 = 19,2, donc v ≈ 4,4 m/s.
Par l'énergie : travail du poids = m·g·h, avec h = d·sin(30°) = 3 × 0,5 = 1,5 m. Donc W_poids = 2 × 9,8 × 1,5 = 29,4 J. Travail du frottement = −f·d = −μ·m·g·cos(30°)·d = −0,20 × 2 × 9,8 × 0,866 × 3 ≈ −10,2 J. Énergie cinétique finale = 29,4 − 10,2 = 19,2 J. Or Ec = ½·m·v², donc v² = 2 × 19,2 / 2 = 19,2, soit v ≈ 4,4 m/s.
Les deux méthodes concordent : la vitesse finale est d'environ 4,4 m/s. Le bilan énergétique confirme que le frottement dissipe environ 10 J, soit un tiers de l'énergie potentielle disponible. Le calcul de l'élève, qui aurait donné v = √(2 × 4,9 × 3) ≈ 5,4 m/s, est invalidé par les deux voies.