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On applique la règle de dérivation terme à terme : la dérivée de 3x² est 6x, celle de -5x est -5 et celle de la constante 7 est 0, donc f'(x) = 6x - 5. En remplaçant x par 2, on obtient f'(2) = 12 - 5 = 7. Cette valeur représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
On isole l'inconnue en ajoutant 8 aux deux membres, ce qui donne 2x = 8, puis en divisant par 2 on obtient x = 4. La vérification 2×4 - 8 = 0 confirme que 4 est bien la solution de l'équation.
Les issues favorables sont 2, 4 et 6, soit trois cas sur les six issues équiprobables possibles. La probabilité vaut donc 3/6, qui se simplifie en 1/2. Le dé étant équilibré, chaque face a la même probabilité 1/6.
Le logarithme de base 2 de 32 est l'exposant qu'il faut donner à 2 pour obtenir 32. Comme 2⁵ = 32, on conclut que log₂(32) = 5. Cette définition est la même pour toute base strictement positive et différente de 1.
Les cinq premiers termes sont 3, 7, 11, 15 et 19, dont la somme vaut 55. On peut aussi utiliser la formule n(a₁ + aₙ)/2, soit 5×(3 + 19)/2 = 55. Cette formule découle du fait que la moyenne des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes donne la somme.
L'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² donne ici x² + 2×x×3 + 3². On obtient donc x² + 6x + 9. Il ne faut pas oublier le double produit, terme souvent omis par erreur.
L'aire d'un triangle est donnée par la formule base × hauteur divisé par 2. Ici, cela donne 10 × 6 / 2 = 30 cm². Le facteur 1/2 provient du fait qu'un triangle occupe la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur.
Pour une fraction rationnelle, la limite à l'infini est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Ici, ces termes sont 2x et x, ce qui donne 2. Les termes constants et de degré inférieur deviennent négligeables lorsque x croît indéfiniment.
La tangente est horizontale là où la dérivée s'annule. Or f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1), qui s'annule en x = 1 et x = -1. Seule la valeur 1 appartient à l'intervalle ]0 ; +∞[, donc la réponse est x = 1.
Le discriminant se calcule par la formule Δ = b² - 4ac. Ici, a = 1, b = -4 et c = 5, donc Δ = 16 - 20 = -4. Un discriminant négatif indique que l'équation n'admet aucune solution réelle.
La probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage est 4/10. Après ce tirage sans remise, il reste 3 boules rouges sur 9 boules, soit une probabilité de 3/9. Le produit 4/10 × 3/9 = 12/90 se simplifie en 2/15.
Pour une équation du second degré ax² + bx + c = 0, la somme des racines vaut -b/a. Ici, cela donne -(-8)/2 = 4. On peut vérifier en factorisant : les racines sont 1 et 3, dont la somme est bien 4.
L'angle π/6 radians correspond à 30 degrés. Dans un triangle rectangle dont l'hypoténuse est double du côté opposé à cet angle, le sinus vaut exactement 1/2. Cette valeur fait partie des valeurs remarquables à connaître par cœur.
En retranchant 3 aux deux membres, on obtient -2x < 4. En divisant par -2, nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité, ce qui donne x > -2. Cette inversion du sens est une règle essentielle des inéquations.
Une primitive de 6x² est 2x³ + C, car la dérivée de 2x³ est bien 6x². La condition F(1) = 0 impose 2 + C = 0, donc C = -2. La primitive cherchée est donc F(x) = 2x³ - 2.
Pour une suite géométrique, u₄ = u₁ × q³, donc 40 = 5 × q³, ce qui donne q³ = 8. La raison réelle vaut alors q = 2. On vérifie que 5, 10, 20, 40 est bien une suite géométrique de raison 2.
La distance se calcule par la formule √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²). Ici, cela donne √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Ce résultat s'appuie sur le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées.
On applique la règle de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. Avec u = x et v = ln(x), on obtient 1×ln(x) + x×(1/x) = ln(x) + 1. Ce résultat est valable pour tout x strictement positif.
Il s'agit d'arrangements sans répétition de 3 éléments choisis parmi 4. On a 4 choix pour les centaines, 3 pour les dizaines et 2 pour les unités, soit 4 × 3 × 2 = 24 nombres. L'ordre des chiffres compte, car 123 et 321 sont deux nombres différents.
On divise numérateur et dénominateur par n², ce qui donne (3 + 2/n)/(1 + 5/n²). Les termes 2/n et 5/n² tendent vers 0, donc la limite est 3/1 = 3. Cette méthode repose sur la comparaison des degrés des polynômes.
On écrit 8 sous la forme 2³, ce qui donne 2^(x+1) = 2³. La fonction exponentielle de base 2 étant strictement croissante, on peut identifier les exposants : x + 1 = 3, donc x = 2. On vérifie que 2³ = 8.
La dérivée f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1) est strictement négative pour tout x de ]-1 ; 1[. Une dérivée négative sur un intervalle implique que la fonction y est strictement décroissante. On en déduit que f passe par un maximum local en -1 et un minimum local en 1.
Une primitive de e^(2x) est (1/2)e^(2x), car sa dérivée redonne bien e^(2x). En évaluant entre 0 et 1, on obtient (1/2)(e² - e⁰) = (e² - 1)/2. Le facteur 1/2 provient de la règle de composition avec la fonction affine 2x.
Le module vaut |z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2. L'argument θ vérifie cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, ce qui donne θ = π/3. La forme trigonométrique est donc 2(cos(π/3) + i sin(π/3)).
Une dérivée seconde strictement positive sur un intervalle signifie que la dérivée première est strictement croissante, donc que la courbe tourne sa concavité vers le haut. On dit alors que la fonction est convexe sur ℝ. Cette propriété n'implique ni monotonie de f ni présence d'asymptote.
Il s'agit d'une identité remarquable de la forme a² - b², qui se factorise en (a - b)(a + b). Ici a = x et b = 3, donc x² - 9 = (x - 3)(x + 3). On vérifie en développant : x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9.
On décompose les deux nombres en facteurs premiers : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant, soit 2 × 3 × 7 = 42.
Une hausse de 25 % multiplie le prix par 1,25, et une baisse de 20 % le multiplie par 0,8. Le facteur global vaut 1,25 × 0,8 = 1, donc le prix final est identique au prix initial, soit 80 euros.
L'angle π/3 correspond à 60 degrés, et le cosinus de 60 degrés vaut 1/2. On le retrouve dans le triangle équilatéral coupé par une hauteur, où le côté adjacent mesure la moitié de l'hypoténuse.
Pour une suite arithmétique, on a uₙ = u₀ + n × r. En remplaçant, u₅ = 7 + 5 × (-3) = 7 - 15 = -8. Chaque terme s'obtient en retirant 3 au précédent.
On développe le produit terme à terme : 2×1 + 2×(-i) + 3i×1 + 3i×(-i). Cela donne 2 - 2i + 3i - 3i², et comme i² = -1, on obtient 2 + i + 3 = 5 + i.
Le choix d'un sous-ensemble de 3 élèves parmi 12, sans ordre, se fait avec un coefficient binomial : C(12,3) = 12! / (3! × 9!). Le calcul donne (12 × 11 × 10) / (3 × 2 × 1) = 1320 / 6 = 220.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut u₀ × (1 - qⁿ)/(1 - q). Ici n = 5, donc la somme est 2 × (1 - 3⁵)/(1 - 3) = 2 × (1 - 243)/(-2) = 242. On peut vérifier en additionnant 2 + 6 + 18 + 54 + 162.
Le sommet de la parabole se trouve à l'abscisse x = -b/(2a) = 6/2 = 3. En calculant f(3) = 9 - 18 + 5 = -4, on obtient la valeur minimale, car le coefficient de x² est positif et la parabole est tournée vers le haut.
Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln(x). L'intégrale vaut donc ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1, puisque ln(e) = 1 et ln(1) = 0.
Les tirages sont indépendants puisque la boule est remise. La probabilité d'obtenir rouge puis blanche vaut (5/8) × (3/8) = 15/64, et celle d'obtenir blanche puis rouge vaut aussi 15/64. En additionnant ces deux cas incompatibles, on obtient 30/64 = 15/32.
L'équation ln(y) = 0 équivaut à y = 1, car ln(1) = 0. On résout donc 2x - 1 = 1, ce qui donne 2x = 2 puis x = 1, valeur pour laquelle 2x - 1 = 1 > 0, donc le logarithme est bien défini.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par xx' + yy'. Ici, u · v = 3 × 1 + (-1) × 2 = 3 - 2 = 1. Ce résultat positif indique que l'angle entre les deux vecteurs est aigu.
Pour x ≠ 1, on peut factoriser le numérateur : x² - 1 = (x - 1)(x + 1). La fonction se simplifie donc en f(x) = x + 1 pour x ≠ 1, et cette expression tend vers 2 quand x tend vers 1. La valeur de f en 1 n'intervient pas dans le calcul de la limite.
On applique la règle de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. Ici u = x et v = e^(-x), donc u' = 1 et v' = -e^(-x). On obtient f'(x) = e^(-x) - x·e^(-x) = (1 - x)·e^(-x).
Le passé composé se forme avec l'auxiliaire avoir ou être au présent suivi du participe passé ; il exprime une action achevée. Ici, « avons visité » correspond exactement à cette structure, et l'adverbe « hier » situe l'action dans un passé terminé.
Le pronom « lui » remplace un nom introduit par la préposition « à » et désigne la personne à qui l'on offre le livre. Il occupe donc la fonction de complément d'objet indirect du verbe « offrir ».
« Madame Bovary », publié en 1857, est l'œuvre majeure de Gustave Flaubert, qui y développe le souci du mot juste et le style indirect libre. Le personnage d'Emma Bovary illustre le bovarysme, l'insatisfaction romanesque.
L'hyperbole amplifie volontairement une réalité, par exemple « je meurs de faim ». Elle vise un effet d'intensité, souvent expressif ou ironique, et se distingue des figures d'atténuation.
Dans un nom composé formé de deux noms reliés par une préposition, seul le premier nom se met au pluriel : « des arcs-en-ciel ». Le second reste invariable car il dépend du premier.
Le groupe commence par la préposition « sous » suivie d'un groupe nominal : c'est un groupe prépositionnel. Il indique le lieu où se déroule l'action et remplit donc la fonction de complément circonstanciel de lieu.
Le romantisme, illustré par Lamartine, Hugo ou Musset, valorise le moi, la sensibilité et le dialogue avec la nature. Il s'oppose aux règles rigides du classicisme et précède le réalisme puis le naturalisme.
Avec l'auxiliaire avoir, le participe passé s'accorde avec le complément d'objet direct placé avant le verbe. Ici, « que » reprend « les fleurs », féminin pluriel, d'où « cueillies ».
Hérité de la tragédie grecque, le chœur commente les événements, exprime la réaction collective et rappelle la dimension morale du destin. Dans la tragédie classique française, il est souvent réduit ou remplacé par les confidents.
La locution impersonnelle « il faut que » exprime une nécessité et entraîne l'emploi du subjonctif dans la subordonnée. Le verbe « partir » y prend la forme « partes », caractéristique du subjonctif présent.