O gráfico do ônibus e a tarifa
Uma empresa de ônibus urbano registrou, em uma linha, a seguinte relação entre passageiros transportados por dia (p) e custo total diário (C), em reais: com 1.000 passageiros, C = 6.000; com 2.000 passageiros, C = 8.000; com 3.000 passageiros, C = 10.000. A empresa afirma que o custo é linear em relação ao número de passageiros. A tarifa cobrada é de R$ 4,00 por passageiro. O poder público quer saber em que ponto a receita cobre o custo e o que acontece se a demanda cair para 1.200 passageiros por dia. Há também a proposta de uma tarifa social de R$ 2,00 para estudantes, que representam 25% dos passageiros.
1. Determine a função custo C(p), o ponto de equilíbrio sem tarifa social e interprete o resultado.
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Como o custo é linear, C(p) = a·p + b. Usando dois pontos: (2.000, 8.000) e (1.000, 6.000). A taxa de variação é (8.000 − 6.000)/(2.000 − 1.000) = 2.000/1.000 = 2 reais por passageiro. Então C(p) = 2p + b. Substituindo (1.000, 6.000): 6.000 = 2.000 + b → b = 4.000. Logo, C(p) = 2p + 4.000. A receita é R(p) = 4p. O equilíbrio ocorre quando 4p = 2p + 4.000 → 2p = 4.000 → p = 2.000 passageiros/dia. Nesse ponto, receita e custo são R$ 8.000. Abaixo de 2.000 passageiros, a linha opera com prejuízo; acima, com lucro. O termo fixo de R$ 4.000 representa custos que não dependem da demanda, como manutenção e administração.
2. Com a tarifa social, calcule a nova receita para 1.200 e para 2.000 passageiros e avalie se a linha se mantém viável.
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Com 25% de estudantes pagando R$ 2,00 e 75% pagando R$ 4,00, a receita média por passageiro é 0,25 × 2 + 0,75 × 4 = 0,50 + 3,00 = R$ 3,50. Para 1.200 passageiros: R = 3,50 × 1.200 = R$ 4.200; custo C = 2 × 1.200 + 4.000 = R$ 6.400; prejuízo de R$ 2.200. Para 2.000 passageiros: R = 3,50 × 2.000 = R$ 7.000; C = 2 × 2.000 + 4.000 = R$ 8.000; prejuízo de R$ 1.000. O novo equilíbrio seria 3,5p = 2p + 4.000 → 1,5p = 4.000 → p ≈ 2.667 passageiros/dia. Portanto, com a tarifa social, a linha deixa de ser viável nos níveis atuais e exigiria subsídio público ou aumento de demanda para cerca de 2.667 passageiros/dia.