Equipaje en la ruta Palma–Madrid: normal, binomial y contraste
La aerolínea que opera la ruta Palma–Madrid modela el peso del equipaje facturado por pasajero, en kg, como una variable normal de media 20 y desviación típica 3. Un avión de 180 pasajeros tiene un límite de 3.700 kg en bodega. La compañía quiere estimar el riesgo de superar ese límite en un vuelo completo y, por otro lado, estudia una tarifa para grupos de 10 pasajeros: le interesa saber la probabilidad de que como máximo uno de ellos facture más de 25 kg. Además, tras una campaña de recogida de datos, se ha observado una media de 21,2 kg en una muestra de 25 pasajeros; la dirección se pregunta si eso confirma que el peso medio ha aumentado, con un nivel de significación del 5%. Se supone que la desviación típica poblacional sigue siendo 3 kg y que los pesos son independientes.
1. Calcula la probabilidad de que el equipaje total de los 180 pasajeros supere los 3.700 kg.
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Sea X_i el peso de cada pasajero, X_i~N(20,3). El total S=ΣX_i tiene media 180·20=3600 kg y desviación típica √180·3≈13,416·3=40,25 kg (los pesos son independientes). Estandarizando: z=(3700-3600)/40,25=100/40,25≈2,48. P(S>3700)=P(Z>2,48)=1-Φ(2,48)≈1-0,9934=0,0066. El riesgo es aproximadamente 0,66%, bajo pero no despreciable; con 1000 vuelos se esperarían unos 6,6 excesos.
2. Calcula la probabilidad de que, en un grupo de 10 pasajeros, como máximo uno facture más de 25 kg.
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Primero, p=P(X>25)=P(Z>(25-20)/3)=P(Z>1,667)≈0,0478. Si Y es el número de pasajeros de 10 que superan 25 kg, Y~Bin(10; 0,0478). P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=(0,9522)^10+10·0,0478·(0,9522)^9. Calculando: (0,9522)^10≈0,6127; (0,9522)^9≈0,6435; evaluando la suma sin redondeos intermedios se obtiene aproximadamente 0,92034. Hay aproximadamente un 92,03% de probabilidad de que como máximo uno supere 25 kg; el suceso contrario tiene probabilidad aproximada 7,97%.
3. Contrasta, con α=0,05, si la media ha aumentado. Formula H0 y H1, calcula el estadístico y decide.
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H0: μ=20; H1: μ>20 (contraste unilateral, porque la duda es si ha aumentado). Estadístico: z=(x̄-μ0)/(σ/√n)=(21,2-20)/(3/√25)=1,2/0,6=2,00. Para α=0,05, el valor crítico unilateral es z_0,95=1,645. Como 2,00>1,645, se rechaza H0: hay evidencia suficiente al 5% de que el peso medio ha aumentado. El p-valor unilateral es P(Z>2,00)≈0,0228<0,05. Si se planteara un contraste bilateral, el p-valor sería 0,0456 y también se rechazaría, pero el planteamiento correcto es unilateral por la dirección de la sospecha. Al ser la población normal y σ conocida, no hace falta aproximar por el teorema central del límite.