Cables tensores de un teatro: posición relativa, ángulo y plano
El equipo de montaje de un teatro de Palma instala dos cables tensores rectos. En un sistema de coordenadas en metros, con origen en el centro del escenario, el cable r pasa por A(1, 0, 2) y tiene vector director u = (2, -1, 1); el cable s pasa por B(0, 1, 3) y tiene vector director v = (1, 1, -1). El jefe de montaje necesita saber si los dos cables se cruzan, si se cortan o si son paralelos, porque un cruce físico obligaría a cambiar anclajes. También debe comprobar el ángulo entre sus direcciones: el pliego exige que no supere 60° para evitar vibraciones. Además, quiere calcular la distancia mínima entre los cables para decidir si el margen de 1,5 m es suficiente. Los puntos y vectores están medidos con error máximo de 1 cm, pero se trabajará con los valores exactos.
1. Determina la posición relativa de r y s y calcula la distancia mínima entre ellas. Decide si se cumple el margen de 1,5 m.
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Vector entre puntos: B-A = (-1,1,1). Producto vectorial u×v = (2,-1,1)×(1,1,-1) = (0,3,3). Producto mixto: (B-A)·(u×v)=(-1)·0+1·3+1·3=6≠0. Como el producto mixto no es cero, las rectas no son coplanarias: se cruzan (son alabeadas), no se cortan y no son paralelas. Distancia mínima: d = |(B-A)·(u×v)| / |u×v| = 6/√(0²+3²+3²) = 6/√18 = √2 ≈ 1,41 m. El margen exigido es 1,5 m; como 1,41 < 1,50, el margen no se cumple y habría que separar o reforzar los anclajes.
2. Calcula el ángulo entre las direcciones de los cables y decide si cumple el pliego.
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cos θ = |u·v|/(|u||v|) = |2·1 + (-1)·1 + 1·(-1)| / (√6·√3) = |2-1-1|/√18 = 0. Por tanto θ=90°. El pliego exige no superar 60°; 90° > 60°, así que no cumple. Al tomar valor absoluto se obtiene el ángulo menor o no obtuso entre las direcciones; el ángulo entre las rectas es 90° porque son perpendiculares en dirección, aunque no se corten.
3. Halla el plano que contiene r y es paralelo a s; úsalo para interpretar la distancia anterior.
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Un plano que contiene r y es paralelo a s tiene como vectores directores u y v. Normal n = u×v = (0,3,3), simplificable a (0,1,1). Con el punto A(1,0,2): 0(x-1)+1(y-0)+1(z-2)=0, es decir, y+z-2=0. Comprobación: r está contenido porque A cumple la ecuación y u·n=0; s es paralelo porque v·n=0, pero B no pertenece al plano: 1+3-2=2≠0. La distancia de B al plano es |2|/√(0²+1²+1²)=√2, que coincide con la distancia entre las rectas. Esto confirma que el plano es el que contiene r y la dirección de s, y que la distancia se mide desde B hasta él.