Ελατήριο απόσβεσης σε αγωγό δεμάτων
Ένα κέντρο διανομής δεμάτων χρησιμοποιεί ευθύγραμμο αγωγό μήκους 4,0 m, με κλίση 25° ως προς την οριζόντια, για να φορτώνει δέματα 18 kg σε ταινία. Τα δέματα αφήνονται από την ηρεμία στην κορυφή. Σε ξηρές συνθήκες ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ δέματος και αγωγού είναι 0,22· μετά από καθάρισμα ή όταν ο αγωγός είναι βρεγμένος πέφτει στο 0,10. Στο κάτω μέρος το δέμα κινείται οριζόντια και συναντά ελατήριο απόσβεσης σταθεράς 12 kN/m. Το ελατήριο είναι ο μόνος απορροφητής ενέργειας, δεν έχει αρχική συμπίεση, και ο κατασκευαστής ορίζει μέγιστη ασφαλή συμπίεση 0,25 m· πέρα από αυτή τα πηνία παραμορφώνονται μόνιμα. Η γραμμή εξυπηρετεί σήμερα δέματα 18 kg, αλλά ένα συμβόλαιο θα προσθέσει δέματα 30 kg τον επόμενο μήνα. Το συνεργείο προτείνει να κρατηθεί το υπάρχον ελατήριο επειδή τα δέματα «δεν πάνε και τόσο γρήγορα». Πρέπει να αξιολογήσετε τη χειρότερη πιστευτή περίπτωση, να τη συγκρίνετε με την ονομαστική τιμή του ελατηρίου και να προτείνετε αν θα αντικατασταθεί το ελατήριο, αν θα προστεθεί αποσβεστήρας ή αν το ρίσκο είναι αποδεκτό.
1. Για δέμα 18 kg σε ξηρό αγωγό, υπολογίστε την ταχύτητα στο κάτω μέρος και τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου. Είναι επαρκές το ελατήριο των 0,25 m;
Read the worked answer
Θεωρούμε σύστημα δέμα–Γη και εφαρμόζουμε διατήρηση ενέργειας από την απελευθέρωση μέχρι τη μέγιστη συμπίεση. Η κατακόρυφη πτώση είναι h = 4,0 sin25° = 1,69 m. Η βαρυτική ενέργεια που ελευθερώνεται είναι mgh = 18 × 9,81 × 1,69 = 298 J. Το έργο της κινητικής τριβής κατά μήκος του αγωγού είναι Wf = μmg cos25° L = 0,22 × 18 × 9,81 × 0,906 × 4,0 = 141 J. Άρα η ενέργεια που φτάνει στο ελατήριο είναι Ek = 298 − 141 = 157 J. Τότε v = √(2Ek/m) = √(2 × 157/18) = 4,2 m/s. Από ½kx² = Ek παίρνουμε x = √(2 × 157/12000) = 0,162 m. Αυτό είναι κάτω από 0,25 m, με περιθώριο διαδρομής περίπου 35%. Άρα το υπάρχον ελατήριο επαρκεί για δέμα 18 kg σε ξηρό αγωγό. Ο υπολογισμός δεν πρέπει να βασιστεί μόνο σε F = ma, επειδή η τριβή και η δύναμη του ελατηρίου μεταβάλλονται με τη θέση.
2. Εξετάστε την περίπτωση δέματος 30 kg με βρεγμένο αγωγό. Παραμένει ασφαλές το ελατήριο; Ποια είναι η μέγιστη δύναμη και τι προσθέτει η ανάλυση ορμής;
Read the worked answer
Χειρότερη πιστευτή περίπτωση: 30 kg και βρεγμένος αγωγός. mgh = 30 × 9,81 × 1,69 = 498 J. Wf = 0,10 × 30 × 9,81 × 0,906 × 4,0 = 107 J. Άρα Ek = 391 J. x = √(2 × 391/12000) = 0,255 m, που υπερβαίνει τη μέγιστη ασφαλή συμπίεση 0,25 m κατά περίπου 2%. Το ελατήριο βρίσκεται στο ή πέρα από το όριο διαρροής. Η ταχύτητα πρόσκρουσης είναι v = √(2 × 391/30) = 5,1 m/s. Η μέγιστη δύναμη ελατηρίου είναι kx = 12000 × 0,255 = 3060 N. Η ορμή κατά την επαφή είναι p = mv = 153 kg m/s· η ώθηση p = ∫F dt δείχνει ότι ένα άκαμπτο στοπ θα απαιτούσε πολύ μεγαλύτερη δύναμη σε μικρό χρόνο, αλλά η ορμή μόνη δεν αποδεικνύει ασφάλεια, επειδή η σταθερά του ελατηρίου καθορίζει τη σχέση δύναμης–συμπίεσης. Το υπάρχον ελατήριο δεν πρέπει να γίνει δεκτό για το νέο συμβόλαιο.
3. Ο προμηθευτής προσφέρει ελατήριο ίδιας σταθεράς με ονομαστική συμπίεση 0,30 m ή ελατήριο 18 kN/m με ονομαστική συμπίεση 0,25 m. Ποιο είναι ασφαλέστερο για τη χειρότερη περίπτωση και γιατί το σκληρότερο μπορεί να είναι κακή επιλογή;
Read the worked answer
Για τη χειρότερη περίπτωση Ek = 391 J. Το ελατήριο 0,30 m ίδιας σταθεράς δίνει x = √(2 × 391/12000) = 0,255 m, περιθώριο 0,045 m (15%). Το ελατήριο 18 kN/m δίνει x = √(2 × 391/18000) = 0,208 m, περιθώριο 0,042 m (17%)· και τα δύο περνούν ως προς τη συμπίεση. Όμως η μέγιστη δύναμη είναι kx: περίπου 3060 N για το μαλακό και 3750 N για το σκληρό. Το σκληρότερο ελατήριο μεταδίδει μεγαλύτερη δύναμη στο στοπ και στο δέμα, αυξάνοντας φθορά και αναπήδηση. Καλύτερη επιλογή είναι το μαλακό ελατήριο 0,30 m, ή ακόμη καλύτερα μαλακό ελατήριο με αποσβεστήρα που αφαιρεί ενέργεια αντί να την αποθηκεύει. Η αποδοχή του υπάρχοντος ελατηρίου δεν είναι υπερασπίσιμη επειδή το περιθώριο είναι αρνητικό.