Μακρύ καλώδιο σε σωληνοειδές πόρτας
Μια απομακρυσμένη αγροτική πόρτα ανοίγει με γραμμικό σωληνοειδές 12 V, ονομαστικής ισχύος 24 W στα 12 V, άρα αντίσταση πηνίου 6,0 Ω. Το σωληνοειδές βρίσκεται 40 m από τη μπαταρία και το διπλό καλώδιο έχει συνολική αντίσταση βρόχου 0,90 Ω. Η μπαταρία έχει ΗΕΔ ανοιχτού κυκλώματος 12,6 V και εσωτερική αντίσταση 0,08 Ω. Τα κρύα πρωινά το σωληνοειδές «τρεμοπαίζει» και μερικές φορές δεν ασφαλίζει· ο αγρότης μετρά περίπου 10,8 V στα άκρα του σωληνοειδούς όταν αυτό ενεργοποιείται. Το σωληνοειδές χρειάζεται τουλάχιστον 11,4 V για να έλξει αξιόπιστα· κάτω από αυτό το έμβολο δεν υπερνικά το ελατήριο επαναφοράς. Προτείνονται δύο λύσεις: (i) αντικατάσταση του καλωδίου με χοντρότερο, συνολικής αντίστασης βρόχου 0,30 Ω, κρατώντας το σύστημα 12 V· ή (ii) αλλαγή σε μπαταρία 24 V και σωληνοειδές 24 V επίσης 24 W. Ο αγρότης θέλει την πιο φθηνή αξιόπιστη λύση και ρωτά αν η μπαταρία είναι «πολύ αδύναμη».
1. Υπολογίστε την τάση στο σωληνοειδές με το υπάρχον καλώδιο και επιβεβαιώστε τη μέτρηση. Είναι η εσωτερική αντίσταση της μπαταρίας η κύρια αιτία;
Read the worked answer
Η αντίσταση του σωληνοειδούς είναι Rs = V²/P = 12²/24 = 6,0 Ω. Η συνολική αντίσταση κυκλώματος είναι 6,0 + 0,90 + 0,08 = 6,98 Ω. Το ρεύμα είναι I = 12,6/6,98 = 1,81 A. Η τάση στο σωληνοειδές είναι Vs = IRs = 1,81 × 6,0 = 10,8 V, που συμφωνεί με τη μέτρηση. Η πτώση στο καλώδιο είναι 1,81 × 0,90 = 1,63 V· στην εσωτερική αντίσταση 1,81 × 0,08 = 0,14 V. Δεν φταίει κυρίως η μπαταρία: το μακρύ καλώδιο χάνει περίπου δέκα φορές περισσότερη τάση. Το σωληνοειδές είναι κάτω από το όριο έλξης 11,4 V, άρα το «τρεμοπαίξιμο» αναμένεται.
2. Αξιολογήστε τη λύση (i): υπολογίστε τη νέα τάση στο σωληνοειδές. Ποια μέγιστη αντίσταση καλωδίου εξασφαλίζει 11,4 V και είναι πρακτική;
Read the worked answer
Με Rc = 0,30 Ω, η συνολική αντίσταση είναι 6,38 Ω, I = 12,6/6,38 = 1,98 A, Vs = 1,98 × 6,0 = 11,9 V, πάνω από 11,4 V. Για το όριο απαιτείται 12,6 × 6,0/(6,08 + Rc) ≥ 11,4. Άρα 75,6 ≥ 69,3 + 11,4Rc, οπότε Rc ≤ 0,55 Ω. Το υπάρχον 0,90 Ω είναι πολύ υψηλό· καλώδιο 0,30 Ω αρκεί με περιθώριο. Είναι πρακτικό αν υπάρχει χοντρότερος χάλκινος αγωγός, αλλά πρέπει να ελεγχθούν κόστος και συνδέσεις. Είναι η λύση με τη χαμηλότερη τάση και τη μικρότερη αναστάτωση.
3. Αξιολογήστε τη λύση (ii) ως προς ρεύμα και απώλειες καλωδίου. Ποια λύση είναι τεχνικά καλύτερη και γιατί μπορεί να μην επιλεγεί;
Read the worked answer
Στα 24 V, σωληνοειδές 24 W έχει R = 24²/24 = 24 Ω. Με πηγή 24,0 V, η συνολική αντίσταση είναι 24 + 0,90 + 0,08 = 24,98 Ω, I = 0,961 A. Η απώλεια στο καλώδιο είναι I²Rc = 0,961² × 0,90 = 0,83 W, μόνο περίπου 3,5% των 23 W που φτάνουν. Στα 12 V με καλώδιο 0,30 Ω, I = 1,98 A, η απώλεια είναι 1,17 W, περίπου 5% της ισχύος του σωληνοειδούς. Το σύστημα 24 V είναι τεχνικά καλύτερο επειδή η ίδια ισχύς απαιτεί μισό ρεύμα, άρα μικρότερη πτώση και απώλεια στο καλώδιο. Μπορεί όμως να απορριφθεί επειδή απαιτεί νέα μπαταρία, φορτιστή, σωληνοειδές και ίσως πρόσθετη ασφάλεια· το χοντρότερο καλώδιο είναι συνήθως φθηνότερο. Η απόφαση είναι επομένως ανταλλαγή, όχι απλώς «η υψηλότερη τάση είναι πάντα καλύτερη».