Loopingbahn: Reicht die Energie für den Kontakt?
Bei einer Achterbahn mit kreisförmigem Looping (Radius R = 7,5 m) wird ein Wagen der Masse m = 420 kg aus der Ruhe aus einer Höhe h = 18,0 m über dem tiefsten Punkt des Loopings freigegeben. Eine Messung mit einer Lichtschranke ergibt am höchsten Punkt des Loopings eine Geschwindigkeit von v_top = 6,2 m/s. Die Reibungsarbeit bis zum höchsten Punkt wird aus einer separaten Messung zu W_Reib = 4,3 kJ abgeschätzt. Ein Schüler behauptet: „Da die Energiebilanz mit diesen Werten aufgeht, bleibt der Wagen im Looping sicher auf der Bahn.“ Die Bahn wird als vertikaler Kreis modelliert; die Reibung wird als konstant angesetzt. Diskutieren Sie die Behauptung mit einer Kräfte- und einer Energiebetrachtung. Berücksichtigen Sie dabei auch, dass reale Loopings häufig eine Klothoidenform haben.
1. Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt für den Kontakt mit der Bahn und die dazu nötige Mindestfreigabehöhe ohne Reibung. Vergleichen Sie mit den Messwerten.
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Am höchsten Punkt wirken Gewichtskraft und Normalkraft beide nach unten (zum Kreismittelpunkt): N + mg = m v²/R. Kontakt bleibt nur für N ≥ 0, also v ≥ √(gR) = √(9,81 · 7,5) m/s ≈ 8,58 m/s.
Die Mindestfreigabehöhe folgt aus Energieerhaltung ohne Reibung: m g h_min = m g (2R) + ½ m v_min², also h_min = 2R + R/2 = 2,5R = 18,75 m. Bereits ohne Reibung wären 18,75 m nötig; die tatsächliche Freigabehöhe 18,0 m liegt darunter, und Reibung erhöht den Bedarf weiter.
Die gemessene Geschwindigkeit 6,2 m/s liegt deutlich unter 8,58 m/s. Mit v = 6,2 m/s wäre N = m v²/R − m g = 420 · 6,2²/7,5 N − 420 · 9,81 N ≈ 2,15 kN − 4,12 kN < 0, also eine negative Normalkraft – physikalisch unmöglich. Der Wagen verliert den Kontakt, bevor er den höchsten Punkt erreicht.
2. Prüfen Sie mit den gegebenen Zahlen, ob die Energiebilanz tatsächlich aufgeht, und erläutern Sie, warum daraus nicht auf einen sicheren Kontakt geschlossen werden darf.
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Energiebilanz: E_start = m g h = 420 · 9,81 · 18,0 J ≈ 74,2 kJ. Am höchsten Punkt: E_pot = m g 2R = 420 · 9,81 · 15,0 J ≈ 61,8 kJ; E_kin = ½ · 420 · 6,2² J ≈ 8,07 kJ; Summe ≈ 69,9 kJ. Die Differenz ≈ 4,3 kJ stimmt mit der abgeschätzten Reibungsarbeit überein. Die Energiebilanz ist also tatsächlich konsistent – aber sie ist nur eine skalare Bedingung.
Für den Kontakt ist zusätzlich die lokale Kräftebilanz entscheidend. Ein Wagen kann genügend Gesamtenergie haben und trotzdem am höchsten Punkt zu langsam sein, wenn die Freigabehöhe zu klein ist oder die Reibung zu viel Energie vor dem höchsten Punkt entzieht. Der Schluss „Energie stimmt, also bleibt er auf der Bahn“ ist daher ein Fehlschluss.
Bei einer Klothoidenbahn ist der Krümmungsradius am höchsten Punkt kleiner als bei einem Kreis gleicher Höhe; dann sinkt v_min = √(gR_top). Damit ließe sich der Widerspruch eventuell entschärfen, aber bei 6,2 m/s müsste R_top unter v²/g ≈ 3,9 m liegen – weniger als die Hälfte von 7,5 m. Das ist mit den angegebenen Daten nicht vereinbar, sofern man weiterhin einen Kreis annähert.
3. Welche zusätzliche Messung würden Sie fordern, um zu entscheiden, ob der Wagen den Kontakt verliert? Begründen Sie.
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Ich würde die Normalkraft am höchsten Punkt direkt mit einem Kraftsensor an der Schiene messen oder die Bahnkurve des Wagens mit einer Hochgeschwindigkeitskamera verfolgen. Solange der Wagen auf der Bahn bleibt, liefert die Videoanalyse den Krümmungsradius und die Geschwindigkeit an mehreren Stellen; daraus lässt sich N = m v²/R − m g cos θ berechnen. Verliert der Wagen den Kontakt, weicht seine Bahn nach innen von der Schienenform ab; das ist im Video unmittelbar sichtbar.
Zusätzlich sollte der tatsächliche Radiusverlauf der Bahn (z. B. mit einem Profilmesstaster) aufgenommen werden, weil die Kreisannahme bei einem Looping mit Klothoidenform nicht gilt. Eine reine Geschwindigkeitsmessung am höchsten Punkt reicht nicht aus, weil sie die Kräftebilanz nicht prüft.