Hall-Sonde: Dotierung und systematische Messfehler
In einem Labor wird eine rechteckige Hall-Sonde aus dotiertem Silizium mit der Dicke d = 0,50 mm verwendet. Die Sonde wird von einem Strom I = 10 mA in Längsrichtung durchflossen und in ein homogenes Magnetfeld B = 0,30 T gestellt, das senkrecht zur Sondenebene steht. Die Hall-Spannung wird als U_H = V_oben − V_unten gemessen; der Strom fließt von links nach rechts, das Magnetfeld zeigt aus der Zeichenebene heraus. Gemessen wird U_H = −0,75 mV. Die Ladungsträgerdichte folgt aus |U_H| = I B / (n e d) mit e = 1,60·10⁻¹⁹ C. Ein Praktikant soll mit derselben Sonde ein unbekanntes Magnetfeld vermessen, hält die Sonde aber um 30° gegen die Feldrichtung gekippt und korrigiert diesen Winkel nicht. Außerdem erwärmt sich die Sonde während der Messung um 8 K; die Ladungsträgerdichte von dotiertem Silizium nimmt dabei zu. Der Hersteller garantiert für die Sonde eine Unsicherheit von 3 %.
1. Berechnen Sie die Ladungsträgerdichte n und entscheiden Sie mit einer Lorentz-Kraft-Betrachtung, ob es sich um n- oder p-dotiertes Silizium handelt.
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Mit |U_H| = I B/(n e d) folgt n = I B/(e d |U_H|) = (0,010 · 0,30)/(1,60·10⁻¹⁹ · 5,0·10⁻⁴ · 7,5·10⁻⁴) m⁻³ ≈ 5,0·10²² m⁻³.
Vorzeichen: Der Strom fließt nach rechts (+x), das Magnetfeld zeigt aus der Zeichenebene (+z). Bei positiven Ladungsträgern wäre v ≈ +x, v×B = x×z = −y, die Lorentzkraft also nach unten gerichtet. Damit würden sich Löcher an der Unterseite sammeln; unten entstünde ein positives Potenzial, oben ein negatives, und U_H = V_oben − V_unten wäre negativ. Genau das wird gemessen.
Bei Elektronen wäre die Driftgeschwindigkeit −x, v×B = +y, die Kraft wegen q < 0 aber nach unten; dann würden Elektronen unten sammeln, unten negativ, oben positiv, U_H positiv. Das negative Vorzeichen zeigt also p-dotiertes Silizium (Majoritätsträger: Löcher).
2. Berechnen Sie, welchen Wert die Sonde bei 30° Kippung anzeigt, und beurteilen Sie den relativen Fehler, wenn man die Kippung nicht korrigiert.
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Bei einer Kippung um 30° ist nur die Komponente B_perp = B cos 30° = 0,30 · 0,866 T ≈ 0,260 T wirksam. Die Hall-Spannung sinkt entsprechend auf U_H' = 0,75 mV · 0,866 ≈ 0,65 mV.
Wenn man die Sonde mit ihrer Kalibrierung (B = U_H/K) auswertet, ohne den Winkel zu korrigieren, erhält man B_meas = 0,260 T statt 0,300 T. Der relative Fehler ist (0,300 − 0,260)/0,300 ≈ 13,4 %, die Feldstärke wird also um gut 13 % zu klein angegeben.
Dieser Fehler ist systematisch und verschwindet nicht durch Mittelung über viele Messungen. Er ist deutlich größer als die Herstellerangabe von 3 % und muss daher durch Ausrichtung der Sonde senkrecht zum Feld oder durch Division durch cos 30° korrigiert werden.
3. Diskutieren Sie den Einfluss der Erwärmung um 8 K auf die Messung. Gehen Sie davon aus, dass n mit steigender Temperatur zunimmt. Welche Richtung hat der Fehler?
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Steigt die Ladungsträgerdichte n mit der Temperatur, so sinkt bei gleichem B die Hall-Spannung U_H ∝ 1/n. Wer die Sonde bei erhöhter Temperatur mit der alten Kalibrierung auswertet, ordnet der kleineren Spannung ein zu kleines Magnetfeld zu.
Der Fehler geht also in dieselbe Richtung wie der Kippfehler (B zu klein), verstärkt ihn aber. Ohne den Temperaturkoeffizienten der verwendeten Dotierung zu kennen, lässt sich der Betrag nicht quantitativ angeben; bei einem 8-K-Temperaturanstieg kann er je nach Dotierung klein bleiben oder bereits mehrere Prozent betragen.
Für eine belastbare Messung müsste man die Sonde bei bekannter Temperatur und bekanntem B kalibrieren oder die Temperatur stabilisieren. Die 3-%-Herstellerangabe deckt diesen systematischen Effekt nicht automatisch ab.