Federpendel: Ideal oder nicht?
Ein Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder (Masse m_F = 25 g) und einer angehängten Masse m = 300 g. Mit einer Stoppuhr werden für verschiedene Amplituden jeweils 20 Schwingungen gemessen: bei A = 2 cm ergibt sich T = 0,704 s, bei A = 6 cm T = 0,708 s und bei A = 10 cm T = 0,722 s. Die Auslenkung wird mit einem Lineal auf ±2 mm genau bestimmt, die Zeit für 20 Schwingungen auf ±0,2 s. Eine erste Abschätzung mit der idealen Formel T = 2π√(m/k) liefert k ≈ 23,9 N/m. Ein Mitschüler behauptet, die Zunahme der Periodendauer bei größerer Amplitude sei allein darauf zurückzuführen, dass die Feder selbst Masse hat. Beurteilen Sie diese Behauptung und entscheiden Sie, ob das Pendel für eine Uhr mit 1 % Ganggenauigkeit geeignet ist. Die Uhr soll mit einer festen Amplitude betrieben werden.
1. Berechnen Sie die effektive Masse und die mit der Feder masse korrigierte Periodendauer. Prüfen Sie, ob die Feder masse die Zunahme von 2 cm auf 10 cm erklären kann.
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Die effektive Masse ist m_eff = m + m_F/3 = 0,300 kg + 0,025/3 kg ≈ 0,3083 kg. Damit wird T_corr = 2π √(m_eff/k) = 2π √(0,3083/23,9) s ≈ 0,714 s.
Diese Korrektur ist unabhängig von der Amplitude; sie verschiebt alle Perioden um etwa 1,4 % gegenüber 0,704 s, kann aber die Zunahme von 0,704 s auf 0,722 s nicht erklären. Die gemessene Zunahme beträgt 0,018 s, also etwa 2,6 %. Sie ist damit größer als die konstante Feder masse-Korrektur und muss eine andere Ursache haben, z. B. die nichtlineare Kennlinie der Feder bei größeren Auslenkungen oder verstärkte Dämpfung.
Die Behauptung des Mitschülers ist daher falsch: Die Feder masse erklärt einen konstanten Offset, nicht die Amplitudenabhängigkeit.
2. Beurteilen Sie die Eignung für eine Uhr mit 1 % Ganggenauigkeit. Welche Amplitude würden Sie wählen?
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Für eine Uhr mit 1 % Ganggenauigkeit darf die Periodendauer um höchstens 0,01 · 0,704 s ≈ 0,007 s schwanken. Bei A = 6 cm beträgt die Änderung gegenüber 2 cm nur 0,004 s; das liegt innerhalb der 1-%-Grenze und teilweise innerhalb der Messunsicherheit von ±0,01 s pro Periode (aus ±0,2 s für 20 Schwingungen).
Bei A = 10 cm beträgt die Änderung 0,018 s und damit etwa 2,6 % – deutlich mehr als 1 %. Man sollte die Uhr daher mit kleiner Amplitude, mindestens aber A ≤ 6 cm, betreiben und die Amplitude aktiv stabilisieren. Zusätzlich muss die absolute Periode ohnehin kalibriert werden; entscheidend für die Ganggenauigkeit ist, dass die Amplitude nicht in den Bereich 10 cm driftet.
3. Nennen Sie eine weitere Messung, mit der Sie entscheiden können, ob die Amplitudenabhängigkeit von der Feder oder von der Luftreibung stammt.
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Man kann die Dämpfung unabhängig bestimmen, indem man die Amplitude über viele Perioden aufnimmt und aus dem exponentiellen Abfall die Dämpfungskonstante γ ermittelt. Für schwache Dämpfung gilt T = 2π/√(ω₀² − γ²); mit bekanntem γ lässt sich prüfen, ob die beobachtete Periodenverschiebung allein durch Dämpfung erklärbar ist.
Alternativ kann man die Luftreibung reduzieren (Vakuumglocke) oder eine andere Feder mit anderer Kennlinie verwenden: Bleibt die Amplitudenabhängigkeit bestehen, spricht das für eine nichtlineare Feder; verschwindet sie im Vakuum, war die Dämpfung die Ursache. Eine Messung bei mehreren Massen hilft ebenfalls, weil die Dämpfung und die Feder masse unterschiedlich skalieren.