Fuente de jardín: área de la plantilla y volumen de arcilla
Un taller de cerámica de Binissalem fabrica una fuente de jardín. La sección vertical del molde, en metros, está limitada por las parábolas y = x² (pared interior) y y = 2 - x² (borde exterior). El taller va a girar esa región alrededor del eje x para obtener el volumen de arcilla del molde. La pieza se considerará aceptable si el área de la plantilla (la sección) no supera 3 m² y si el volumen de arcilla no supera 17 m³. El encargado dispone de 16,5 m³ de mezcla y quiere saber si le basta, además de calcular cuánto material sobra o falta. También debe decidir si puede reducir el borde exterior hasta y = 1,8 - x² sin cambiar la pared interior, y si eso mantendría el área por debajo de 3 m². Los cálculos deben hacerse con valores exactos y después aproximar a dos decimales.
1. Calcula los puntos de corte de las dos parábolas y el área de la sección. Decide si cumple el límite de 3 m².
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Puntos de corte: x²=2-x² ⇒ 2x²=2 ⇒ x=±1. Los puntos son (-1,1) y (1,1). La altura entre curvas es (2-x²)-x²=2-2x², positiva en (-1,1). Área = ∫{-1}^{1}(2-2x²)dx = [2x-(2/3)x³]{-1}^{1} = (2-2/3)-(-2+2/3)=4/3+4/3=8/3≈2,67 m². Como 2,67≤3, la plantilla cumple el límite de área.
2. Calcula el volumen de revolución alrededor del eje x y decide si los 16,5 m³ de mezcla son suficientes.
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Al girar alrededor del eje x, la sección es una corona con radio exterior 2-x² y radio interior x². Volumen = π∫{-1}^{1}[(2-x²)²-(x²)²]dx = π∫{-1}^{1}(4-4x²+x⁴-x⁴)dx = π∫{-1}^{1}(4-4x²)dx = π[4x-(4/3)x³]{-1}^{1} = π[(4-4/3)-(-4+4/3)] = π[(8/3)-(-8/3)] = 16π/3≈16,76 m³. Se dispone de 16,5 m³; como 16,76>16,5, la mezcla no basta: faltan aproximadamente 0,26 m³. En valor exacto, 16π/3 > 33/2 porque 32π>99.
3. Si se baja el borde exterior a y=1,8-x², ¿se mantiene el área por debajo de 3 m²? ¿Y el volumen?
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Nuevo borde y=1,8-x². Corte: x²=1,8-x² ⇒ x²=0,9 ⇒ a=√0,9≈0,9487. Área=∫{-a}^{a}(1,8-2x²)dx = [1,8x-(2/3)x³]{-a}^{a} = 2(1,8a-(2/3)a³) = 2a(1,8-(2/3)·0,9)=2a(1,8-0,6)=2,4a≈2,28 m². Sigue por debajo de 3 m². Volumen=π∫{-a}^{a}[(1,8-x²)²-x⁴]dx = π∫{-a}^{a}(3,24-3,6x²)dx = π[3,24x-1,2x³]_{-a}^{a}=2πa(3,24-1,2·0,9)=2πa(3,24-1,08)=4,32πa≈4,32·π·0,9487≈12,87 m³. El área se mantiene aceptable y el volumen baja por debajo de 16,5 m³, pero la pieza pierde profundidad; la decisión depende de si el diseño funcional admite esa reducción, no solo del material.