Kragarm für eine Kabeltrommel: Aluminium erwünscht, aber nicht in gleicher Geometrie
Eine Kabeltrommel-Halterung wird als Kragarm an einer Fassade befestigt. Der Arm ist ein Rechteckhohlprofil 60 × 40 × 3 mm (Höhe 60 mm in Biegerichtung), Länge 800 mm, Werkstoff S235JR. An der Spitze greift eine Last von 700 N senkrecht nach unten an; dynamische Einflüsse beim Abrollen sind mit dem Faktor 1,5 zu berücksichtigen. Die Durchbiegung an der Spitze darf L/300 nicht überschreiten. Gegen die Streckgrenze ist eine Sicherheit von mindestens 1,5 nachzuweisen. Befestigt wird mit zwei Ankern im Abstand von 140 mm, zulässige Zuglast je Anker 4,0 kN. Der Bauherr wünscht Aluminium 6060 T66 (R_p0,2 = 150 N/mm², E = 70.000 N/mm²), weil die Monteure das Teil zu zweit tragen müssen. Der Stahlarm wiegt 3,5 kg; Feuerverzinken kostet 45 € Aufpreis.
1. Berechnen Sie Flächenmoment, Widerstandsmoment und Biegespannung für das vorhandene Profil und weisen Sie die Sicherheit gegen Streckgrenze für S235JR und für Aluminium 6060 T66 nach.
Read the worked answer
Querschnittswerte (Hohlrechteck 40 × 60 × 3): I = (b · h³ − b_i · h_i³)/12 = (40 · 60³ − 34 · 54³)/12 = (8.640.000 − 5.353.776)/12 = 273.852 mm⁴. W = I / (h/2) = 273.852 / 30 = 9.128 mm³.
Bemessungsmoment: M = F · L · 1,5 = 700 N · 800 mm · 1,5 = 840.000 N·mm.
Spannung: σ_b = M / W = 840.000 / 9.128 = 92,0 N/mm².
Sicherheiten: – S235JR: 235 / 92,0 = 2,55 ≥ 1,5 → erfüllt. – Al 6060 T66: 150 / 92,0 = 1,63 ≥ 1,5 → rechnerisch erfüllt, aber nur mit geringer Reserve.
Einordnung: Die Festigkeitsprüfung allein spricht für Aluminium. Der Nachweis ist jedoch unvollständig, weil Spannung und Streckgrenze nichts über die Verformung aussagen. Außerdem ist zu beachten: Wird der Arm geschweißt, sinkt die Festigkeit in der Wärmeeinflusszone bei 6060 deutlich ab (Größenordnung 90–100 N/mm²); dann wäre die Sicherheit kleiner als 1. Für eine geschweißte Ausführung ist der Werkstoff ohne Nachbehandlung nicht geeignet.
2. Berechnen Sie die Durchbiegung an der Spitze für beide Werkstoffe und beurteilen Sie, welches Kriterium für die Auslegung maßgebend ist.
Read the worked answer
Formel: δ = F · L³ / (3 · E · I), mit F = 700 N (statische Last; der dynamische Faktor gilt der Festigkeit, nicht der Steifigkeit – wird er zusätzlich angesetzt, verschärft sich das Ergebnis nur). L³ = 800³ = 5,12 · 10⁸ mm³ → Zähler = 700 · 5,12 · 10⁸ = 3,584 · 10¹¹ N·mm³.
Stahl (E = 210.000 N/mm²): δ = 3,584 · 10¹¹ / (3 · 210.000 · 273.852) = 3,584 · 10¹¹ / 1,725 · 10¹¹ = 2,08 mm. Zulässig: L/300 = 2,67 mm → erfüllt, Reserve ca. 22 %.
Aluminium (E = 70.000 N/mm²): δ = 3,584 · 10¹¹ / (3 · 70.000 · 273.852) = 3,584 · 10¹¹ / 5,751 · 10¹⁰ = 6,23 mm. Zulässig: 2,67 mm → überschritten um den Faktor 2,3 → nicht erfüllt.
Maßgebendes Kriterium: die Verformung, nicht die Festigkeit. Ursache ist das E-Modul-Verhältnis von 3 : 1 zwischen Stahl und Aluminium: Bei gleicher Geometrie sinkt die Steifigkeit auf ein Drittel, während die Streckgrenze nur auf ca. 64 % sinkt. Ein Werkstofftausch bei unverändertem Querschnitt ist deshalb praktisch nie eine reine Materialfrage. Erforderlich wäre für Aluminium ein I von mindestens I_erf = F · L³ / (3 · E · δ_zul) = 3,584 · 10¹¹ / (3 · 70.000 · 2,67) = 639.000 mm⁴, also das 2,3-Fache des vorhandenen Querschnitts.
3. Entwickeln Sie eine Gesamtempfehlung für Werkstoff und Querschnitt unter Berücksichtigung von Gewicht, Befestigung und Fertigung.
Read the worked answer
1. Größerer Aluminiumquerschnitt 80 × 60 × 4 mm: I = (60 · 80³ − 52 · 72³)/12 = (30.720.000 − 19.408.896)/12 = 942.592 mm⁴ > 639.000 mm⁴ → Durchbiegung δ = 3,584 · 10¹¹ / (3 · 70.000 · 942.592) = 1,81 mm ≤ 2,67 mm ✓. W = I / 40 = 23.565 mm³ → σ_b = 840.000 / 23.565 = 35,6 N/mm² → Sicherheit 150 / 35,6 = 4,2 ✓.
2. Gewicht: – Stahl 60 × 40 × 3: A = 2.400 − 1.836 = 564 mm² → 4,43 kg/m → 3,54 kg für 0,8 m. – Aluminium 80 × 60 × 4: A = 4.800 − 3.744 = 1.056 mm² → 2,85 kg/m → 2,28 kg für 0,8 m. Ersparnis 1,26 kg bzw. 36 %, obwohl der Querschnitt größer ist. Der Leichtbauvorteil entsteht also erst mit dem angepassten Profil, nicht durch Materialsubstitution allein.
3. Befestigung – der eigentliche Engpass: Das Moment von 840.000 N·mm erzeugt bei 140 mm Ankerabstand eine Zugkraft von 840.000 / 140 = 6000 N = 6,0 kN je Anker; zulässig sind 4,0 kN → Überschreitung um 50 %. Selbst mit dem statischen Moment (560.000 N·mm) wären es 4,0 kN, also 100 % Auslastung ohne Reserve. Die Befestigung ist damit unabhängig vom Werkstoff nicht tragfähig.
Empfehlung:
- Aluminium 80 × 60 × 4 mm verwenden (Gewicht und Steifigkeit erfüllt).
- Zusätzlich eine Druckstrebe (ca. 45°) vom Wandfuß zur Unterseite des Arms anordnen; dadurch wird der Kragarm zum Fachwerk, das Biegemoment an den Ankern entfällt nahezu vollständig, und die Ankerlast sinkt auf ein zulässiges Maß.
- Schraubverbindung statt Schweißnaht vorsehen; muss geschweißt werden, 6060 nach dem Schweißen warmauslagern oder auf eine schweißgeeignete Legierung (z. B. 5083) mit dann neuem Nachweis wechseln.
- Feuerverzinkung des Stahlarms entfällt bei Aluminium; Kontaktkorrosion an den Ankern durch Trennschichten (Edelstahlschrauben, Kunststoffzwischenlage) vermeiden.