Réservoir cylindrique : prix au m² ou coût total ?
Une fromagerie doit installer un réservoir cylindrique fermé de 20,0 m³ pour stocker de l'eau chaude. Le local a une hauteur utile sous plafond de 2,50 m ; le réservoir doit donc avoir h ≤ 2,50 m. La tôle coûte 4 500 DA/m² chez le fabricant A, avec 8 % de pertes de découpe. Le fabricant B propose un réservoir de rayon 2,50 m et de hauteur 1,02 m, à 3 900 DA/m², pertes comprises. Le bureau d'études veut minimiser le coût total de tôle, pas le prix au m². On néglige l'épaisseur et les soudures. Le volume est V = πr²h et l'aire totale d'un cylindre fermé est S = 2πr² + 2πrh. Le gérant pense que B est forcément moins cher puisque le prix au m² est inférieur. Avant de signer, il demande une vérification chiffrée et veut savoir si le devis B respecte réellement le volume demandé.
1. Déterminer les dimensions (r, h) qui minimisent S sans contrainte de hauteur, puis montrer qu'elles sont incompatibles avec le local.
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Pour V fixé, on écrit S(r) = 2πr² + 2V/r. La dérivée est dS/dr = 4πr − 2V/r². Elle s'annule lorsque r³ = V/(2π) = 20/(2π) = 3,183, soit r = 1,471 m. La hauteur correspondante vaut h = V/(πr²) = 20/(π × 1,471²) = 2,94 m. Cette solution minimise bien l'aire du cylindre fermé, mais h = 2,94 m dépasse la hauteur utile de 2,50 m : elle n'est pas constructible dans le local.
2. Déterminer les dimensions admissibles qui minimisent S. Calculer l'aire minimale et le coût chez A.
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La contrainte h ≤ 2,50 m impose r ≥ √(V/(πhmax)) = √(20/(π × 2,50)) = √2,546 = 1,596 m. Pour r ≥ 1,471 m, la fonction S(r) est croissante, donc le minimum admissible est atteint à la borne r = 1,596 m, avec h = 2,50 m. S = 2π(1,596)² + 2π(1,596)(2,50) = 16,00 + 25,07 = 41,07 m². Coût A = 41,07 × 1,08 × 4 500 ≈ 199 600 DA.
3. Comparer au devis B et conclure. Que faudrait-il vérifier avant de commander ?
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Devis B : V = π(2,50)²(1,02) = 20,03 m³, donc le volume est compatible à l'arrondi. S = 2π(2,50)² + 2π(2,50)(1,02) = 39,27 + 16,02 = 55,29 m². Coût B = 55,29 × 3 900 ≈ 215 600 DA. B est plus cher d'environ 16 000 DA, soit environ 8 %, malgré un prix au m² plus bas. Avant commande, il faut exiger un plan coté, vérifier que h = 1,02 m et r = 2,50 m passent dans le local, confirmer que les 8 % de pertes de A sont bien inclus, et faire préciser la tolérance sur le volume réel.