Cálculo integral: primitivas, áreas y volúmenes
El cálculo integral combina técnicas de primitivación con áreas entre curvas y volúmenes de revolución. Esta práctica independiente desarrolla primitivas inmediatas y el planteamiento geométrico del recinto, sin afirmar que reproduce una prueba regional concreta.
Primitivas
- Inmediatas y sustitución lineal: si F es primitiva de f y a ≠ 0, una primitiva de f(ax+b) es F(ax+b)/a.
- Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; suele elegirse u como el logaritmo o el polinomio.
- Racionales sencillas: descomposición en fracciones simples o completar el cuadrado para obtener logaritmos y arcotangentes.
Integral definida
- Barrow: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), con F primitiva de f.
- Propiedades: linealidad, aditividad respecto del intervalo y cambio de signo al invertir los límites.
- En una sustitución hay que cambiar también los límites; si no, hay que deshacer el cambio antes de evaluar.
Áreas y volúmenes
- Área entre curvas: se hallan los cortes, se identifica la curva superior y se integra (superior − inferior) entre esos cortes. Si la función cambia de signo, se separa el intervalo o se integra el valor absoluto.
- Volumen alrededor de OX: V = π∫ₐᵇ y² dx. Si las secciones son arandelas, V = π∫(R² − r²) dx, donde R ≥ r ≥ 0 son las distancias exterior e interior al eje; solo se sustituyen por funciones cuando representan esos radios.
Ejemplo resuelto
Área entre y = x² e y = x: los cortes son x = 0 y x = 1. En ese intervalo x ≥ x², luego A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u². Si ese mismo recinto girase alrededor de OX, el sólido exterior lo generaría y = x y el hueco y = x²: V = π∫₀¹ (x² − x⁴) dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15 u³.
Errores que cuestan puntos
- Olvidar la constante C en una primitiva indefinida.
- No cambiar los límites al sustituir.
- Dar un área negativa.
- Usar π∫(f − g)² dx cuando hay hueco en lugar de π∫(f² − g²) dx.
- Integrar sin calcular antes los puntos de corte.