Maniobra orbital: acelerar para acabar yendo más despacio
Un satélite de observación de 850 kg describe una órbita circular a 620 km sobre la superficie terrestre. El centro de control planea elevarlo hasta una órbita circular de 1 200 km de altura mediante encendidos breves del motor en los puntos adecuados. Datos: G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_T = 5,97·10²⁴ kg, R_T = 6,37·10⁶ m. Se desprecia el rozamiento atmosférico y la masa del satélite no cambia de forma apreciable durante los encendidos. El equipo de dinámica de vuelo discute dos afirmaciones: (i) al pasar a la órbita alta el satélite «va más despacio», y (ii) por ello el encendido debería frenarlo en lugar de acelerarlo. Además se quiere saber si el combustible disponible, equivalente a 2,0 GJ de energía útil, basta para la maniobra, y si conviene realizarla como una transferencia en dos impulsos (tipo Hohmann) desde la órbita baja.
1. Calcula la velocidad orbital, el periodo y la energía mecánica total del satélite en la órbita de 620 km de altura.
Read the worked answer
Radio de la órbita r = R_T + h = 6,37·10⁶ + 6,20·10⁵ = 6,99·10⁶ m
Velocidad orbital (fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta) G·M·m/r² = m·v²/r → v = √(G·M/r) v = √(6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ / 6,99·10⁶) = √(5,70·10⁷) ≈ 7,55·10³ m/s (unos 7,5 km/s)
Periodo T = 2πr/v = 2π · 6,99·10⁶ / 7,55·10³ ≈ 5,82·10³ s ≈ 97 min (Comprobación con la 3.ª ley: T² ∝ r³, coherente con los ~90 min de una órbita baja típica.)
Energía mecánica E = −G·M·m/(2r) = −(6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ · 850)/(2 · 6,99·10⁶) ≈ −2,42·10¹⁰ J Es negativa, como corresponde a una órbita ligada; la energía cinética vale +2,42·10¹⁰ J y la potencial −4,84·10¹⁰ J (E = K = −U/2).
2. Halla la energía mínima que debe aportar el motor para dejar al satélite en la órbita circular de 1 200 km y valora si los 2,0 GJ disponibles son suficientes.
Read the worked answer
Estado final: r₂ = 6,37·10⁶ + 1,20·10⁶ = 7,57·10⁶ m E₂ = −G·M·m/(2r₂) = −(3,98·10¹⁴ · 850)/(2 · 7,57·10⁶) ≈ −2,235·10¹⁰ J
Energía aportada ΔE = E₂ − E₁ = G·M·m/2 · (1/r₁ − 1/r₂) ΔE = 1,69·10¹⁷ · (1,431·10⁻⁷ − 1,321·10⁻⁷) = 1,69·10¹⁷ · 1,10·10⁻⁸ ≈ 1,86·10⁹ J ≈ 1,9 GJ
¿Bastan 2,0 GJ? Sí, pero el margen es de solo ~7 %. Ese valor es un mínimo teórico: la energía mecánica es función de estado, así que el aporte total no depende del camino, pero en la práctica hay pérdidas (orientación del empuje, masa de propergol expulsada, control de actitud) que reducen el margen.
Sobre la transferencia en dos impulsos Un solo encendido tangencial en la órbita baja convierte la circunferencia en una elipse con perigeo en 620 km, pero no en una circunferencia de 1 200 km: haría falta un segundo encendido en el apogeo para circularizar. El reparto de ΔE entre los dos encendidos es el mismo (1,86 GJ en total), pero la maniobra en dos impulsos es la que minimiza el Δv total y, por tanto, el propergol.
3. Explica si son correctas las afirmaciones (i) e (ii) del equipo de dinámica de vuelo, apoyándote en los valores calculados.
Read the worked answer
Velocidad final: v₂ = √(G·M/r₂) = √(3,98·10¹⁴/7,57·10⁶) ≈ 7,25·10³ m/s, menor que 7,55·10³ m/s.
(i) «Va más despacio»: es correcta solo si se habla de rapidez orbital. v = √(GM/r) disminuye al crecer r. Pero la energía mecánica es mayor (menos negativa): −2,24·10¹⁰ J frente a −2,42·10¹⁰ J. El satélite está más «arriba» y ligado más débilmente.
(ii) «Debería frenarlo»: es falsa. Un frenado en la órbita baja disminuiría la energía mecánica y bajaría el perigeo: el satélite se acercaría a la Tierra.
Por qué no hay paradoja En la órbita circular K = −E, U = 2E. Al pasar de r₁ a r₂: ΔU = 2ΔE = +3,7 GJ (sube) ΔK = −ΔE = −1,86 GJ (pierde rapidez) El motor aporta 1,86 GJ, y a eso se suma 1,86 GJ de energía cinética que el satélite «gasta» al ascender; entre ambos se cubren los 3,7 GJ de energía potencial ganada. Es decir: hay que acelerar en el perigeo para que, después, la gravedad lo frene más de lo que se aceleró. El encendido es progradiente (en el sentido del movimiento) y se realiza en el punto de la órbita baja donde se quiera situar el perigeo de la elipse de transferencia.