Dos cargas fijas y un protón en el punto de campo nulo
En una práctica se fijan dos cargas puntuales sobre el eje X: q₁ = +4,0 µC en el origen y q₂ = −9,0 µC en x = 0,50 m. El montaje está en el vacío (k = 9,0·10⁹ N·m²·C⁻²) y las cargas permanecen inmóviles. Un alumno busca el punto donde el campo eléctrico total se anula y lo localiza en x = −1,0 m, fuera del segmento que une las cargas. A continuación coloca allí un protón (m = 1,67·10⁻²⁷ kg, q = +1,6·10⁻¹⁹ C) inicialmente en reposo y observa que no se queda quieto, sino que oscila alrededor de esa posición. Otro compañero sostiene que, si el campo es nulo, el protón debería permanecer en reposo y que, además, la energía potencial en ese punto debe ser nula «porque no hay campo». Se pide analizar el montaje sin dar nada por supuesto.
1. Determina la posición exacta del punto del eje X donde se anula el campo eléctrico total y calcula el potencial eléctrico en ese punto.
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Dónde puede anularse el campo Entre las cargas los dos campos apuntan en el mismo sentido (+x), así que se suman. El punto nulo debe estar fuera del segmento y del lado de la carga de menor valor absoluto (la de +4,0 µC), es decir, a la izquierda del origen.
Sea d = |x| la distancia al origen. Igualando módulos: k·4,0/d² = k·9,0/(d + 0,50)² → 2/d = 3/(d + 0,50) → 2d + 1,0 = 3d → d = 1,0 m → x = −1,0 m (La propuesta del alumno es correcta: está a 1,0 m del origen y a 1,5 m de la carga negativa, cumpliendo la relación de distancias 1,0/1,5 = 2/3 = √4/√9.)
Potencial en ese punto (escalar, con signo) V = k·q₁/r₁ + k·q₂/r₂ = 9,0·10⁹ · (4,0·10⁻⁶/1,0 + (−9,0·10⁻⁶)/1,5) V = 9,0·10⁹ · (4,0·10⁻⁶ − 6,0·10⁻⁶) = −1,8·10⁴ V
Moraleja: E = 0 no implica V = 0. Los dos conceptos son independientes; el potencial es la suma escalar y aquí las contribuciones negativas pesan más.
2. Explica por qué el protón no permanece en reposo en ese punto: describe el movimiento si se separa ligeramente a lo largo del eje X y qué ocurriría si se separa en dirección perpendicular.
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Estar en equilibrio no es lo mismo que estar en equilibrio estable En x = −1,0 m la fuerza neta es nula, pero hay que estudiar qué pasa al separarse.
A lo largo del eje X (estable) La componente del campo en la zona x < 0 vale E(x) = −4,0k/x² + 9,0k/(0,50 − x)². Su derivada en x = −1,0 m: dE/dx = 8,0k/x³ + 18k/(0,50 − x)³ = −8,0k + 18k/3,375 = −2,67k < 0 Al desplazar el protón hacia el origen (δ > 0) el campo se hace negativo y la fuerza lo empuja de vuelta; al desplazarlo hacia la izquierda ocurre lo contrario. Es un mínimo de potencial para cargas positivas: oscilación armónica simple alrededor de x = −1,0 m. Constante recuperadora eficaz: k_ef = q·|dE/dx| = 1,6·10⁻¹⁹ · 2,67 · 9,0·10⁹ · 10⁻⁶ ≈ 3,8·10⁻¹⁵ N/m → ω = √(k_ef/m) ≈ 1,5·10⁶ rad/s (periodo ≈ 4 µs).
En dirección perpendicular (inestable) El potencial electrostático no puede tener un mínimo tridimensional en el vacío (ecuación de Laplace). Si a lo largo del eje es un mínimo, transversalmente ha de ser un máximo: cualquier desplazamiento lateral hace que la componente transversal del campo aleje al protón. El punto es, por tanto, una silla (equilibrio estable en una dirección e inestable en las otras dos).
Conclusión: el protón «no se queda quieto» porque el equilibrio solo es estable a lo largo del eje; en la práctica, la más mínima desviación lateral lo expulsa.
3. Calcula el trabajo que realiza el campo al traer un protón desde el infinito hasta ese punto y discute si contradice el hecho de que en él E = 0.
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Trabajo del campo W_campo = q·(V_∞ − V) = −q·ΔV = −(1,6·10⁻¹⁹ C)·(−1,8·10⁴ V − 0) W_campo = +2,9·10⁻¹⁵ J ≈ +18 keV
El trabajo del campo es positivo: la carga positiva cae espontáneamente hacia una zona de potencial bajo (el potencial es negativo por la proximidad de la carga de −9,0 µC). Si se suelta desde el reposo en el infinito, llega a x = −1,0 m con 18 keV de energía cinética (unas 1,1·10⁷ m/s, aún no relativista al 4 % de c).
¿Contradice que E = 0? No
- E = −dV/dx mide la pendiente del potencial. En un mínimo la pendiente se anula, pero el valor del potencial no tiene por qué ser cero.
- El potencial es una magnitud con origen arbitrario; lo que tiene significado físico son las diferencias. Aquí V = −18 kV respecto del infinito.
- Además, que E = 0 no significa que la carga se quede allí: si llega con energía cinética, la atraviesa y sigue (no hay «captura» sin disipación de energía, igual que una canica pasa por el fondo de un valle si lleva velocidad).
Error del compañero: confunde campo (vector, pendiente del potencial) con potencial (escalar, valor). Un punto de campo nulo puede tener perfectamente un potencial distinto de cero, y de hecho es lo habitual en configuraciones con cargas de signos opuestos.