Tubo de resonancia y sirena: de la corrección de boca al efecto Doppler
En el laboratorio se mide la velocidad del sonido con un tubo de resonancia (cerrado por un extremo y abierto por el otro) y un diapasón de 480 Hz. Se localizan dos resonancias consecutivas cuando la columna de aire mide 16,5 cm y 52,5 cm. La temperatura del aire es 20 °C y se toma v = 331 m/s a 0 °C. El profesor pide además estimar la corrección de boca (el extremo abierto no coincide con un nodo exacto), usar el valor obtenido para interpretar la sirena de una ambulancia que se acerca frontalmente a 25 m/s emitiendo exactamente 480 Hz, y prever cómo se desplazan las resonancias si el aula se calienta hasta 30 °C. Un alumno propone calcular la longitud de onda como λ = 52,5 − 16,5 = 36 cm.
1. Calcula la longitud de onda y la velocidad del sonido y estima la corrección de boca del tubo.
Read the worked answer
Error conceptual del alumno: en un tubo cerrado por un extremo las resonancias están en L + e = (2n−1)·λ/4, es decir, en λ/4, 3λ/4, 5λ/4… Dos resonancias consecutivas distan λ/2, no λ.
Longitud de onda λ/2 = 52,5 − 16,5 = 36,0 cm → λ = 0,720 m (los 36 cm son media onda, no una onda completa)
Velocidad v = f·λ = 480 · 0,720 = 345,6 m/s ≈ 346 m/s Coherencia térmica: v ≈ 331·√(293/273) ≈ 343 m/s; el valor medido es un 1 % mayor, razonable para aire con cierta humedad.
Corrección de boca Primera resonancia: L₁ + e = λ/4 = 18,0 cm → e = 18,0 − 16,5 = 1,5 cm Comprobación con la segunda: L₂ + e = 54,0 cm frente a 3λ/4 = 54,0 cm ✓
La corrección es del orden del 0,6·r del tubo (radio ≈ 2,5 cm), lo que refuerza el resultado. Interpretación física: la onda no se refleja exactamente en el borde, sino en una sección ligeramente exterior, de modo que la longitud acústica efectiva es algo mayor que la geométrica. Despreciarla introduciría un error del 9 % en la primera resonancia.
2. Predice cómo cambian las posiciones de las resonancias si la temperatura del aire sube de 20 °C a 30 °C, manteniendo el mismo diapasón.
Read the worked answer
Qué se mantiene: la frecuencia la fija el diapasón (480 Hz), no el aire. Lo que cambia es v y, con ella, λ.
Nueva velocidad v' = v·√(T'/T) = 345,6 · √(303/293) = 345,6 · 1,0169 ≈ 351,4 m/s
Nueva longitud de onda λ' = v'/f = 351,4/480 = 0,732 m (crece un 1,7 %)
Nuevas posiciones L₁' = λ'/4 − e = 18,30 − 1,50 = 16,80 cm L₂' = 3λ'/4 − e = 54,90 − 1,50 = 53,40 cm
Valoración: los desplazamientos son de +3 mm y +9 mm. No son despreciables si se busca una cifra de 3–4 cifras significativas, pero son pequeños frente a las longitudes del tubo. La corrección de boca apenas cambia (depende de la geometría y de λ, y λ varía poco), la dilatación térmica del tubo (~0,02 mm) es totalmente despreciable, y el efecto dominante es el aumento de v con la temperatura.
Si el experimento se hiciera con el tubo abierto por ambos extremos, el razonamiento sería análogo con λ/2 en lugar de λ/4.
3. Con la velocidad del sonido obtenida, calcula la frecuencia que percibe un observador en reposo cuando la ambulancia se acerca a 25 m/s y la frecuencia de batido al compararla con el diapasón de 480 Hz. Indica qué cambia tras pasar la ambulancia.
Read the worked answer
Efecto Doppler, fuente móvil acercándose f' = f · v/(v − v_F) = 480 · 345,6/(345,6 − 25) = 480 · 345,6/320,6 f' = 480 · 1,0780 ≈ 517,4 Hz
Batido con el diapasón (480 Hz) |f' − f| ≈ 37 Hz No es un batido lento y «suave»: es una aspereza rápida, casi un intervalo musical (unas tres cuartas partes de tono). Sería un batido cómodo de contar solo si la diferencia fuese de pocos hercios.
Tras pasar la ambulancia (se aleja) f'' = 480 · 345,6/(345,6 + 25) = 480 · 345,6/370,6 ≈ 447,6 Hz La caída brusca de unos 70 Hz al pasar es la firma auditiva del efecto Doppler: el sonido «cae» de golpe, no gradualmente.
Observaciones finas
- Solo cuenta la componente radial de la velocidad; si la ambulancia pasara lateralmente, el corrimiento variaría desde +37 Hz hasta −32 Hz de forma continua.
- El resultado depende de v, de ahí que se pida usar el valor medido (345,6 m/s) y no 340 m/s: con 340 m/s se obtendría 519,1 Hz, un error de casi 2 Hz.