Muones a 0,995c: dos marcos de referencia, una sola respuesta
Los muones se producen en la alta atmósfera, a unos 10 km de altura, y se desintegran con una vida media propia de 2,2 µs. Un detector situado en una cima registra un flujo de muones que viajan verticalmente hacia abajo con v = 0,995c. Un estudiante calcula la distancia que recorrería un muón en una vida media sin tener en cuenta la relatividad y concluye que ninguno podría alcanzar el nivel del mar, a 10 km, porque solo avanzaría unos cientos de metros. Sin embargo, un detector costero, calibrado frente al de la cima, mide un flujo apreciable. Datos: c = 3,00·10⁸ m/s. Se supone que los muones no pierden energía apreciable en la atmósfera y que su vida media propia es una constante del muón.
1. Calcula, en el marco del laboratorio, la fracción de muones que sobrevive desde los 10 km hasta el nivel del mar.
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Factor de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²) = 1/√(1 − 0,995²) = 1/√(0,009975) ≈ 10,0
Vida media en el laboratorio (dilatación temporal) τ_lab = γ·τ₀ = 10,0 · 2,2 µs = 22,0 µs
Tiempo de vuelo hasta el mar t = 1,00·10⁴/(0,995 · 3,00·10⁸) = 1,00·10⁴/2,985·10⁸ ≈ 3,35·10⁻⁵ s = 33,5 µs
Supervivencia N/N₀ = e^(−t/τ_lab) = e^(−33,5/22,0) = e^(−1,52) ≈ 0,22
Sobrevive aproximadamente el 22 %, es decir, uno de cada cinco muones. Ese flujo residual es perfectamente detectable, y explica el resultado del detector costero. Nótese que el cálculo no es «los muones viven más» en sentido absoluto, sino que el intervalo entre la producción y la desintegración medido en el laboratorio es mayor porque el reloj del muón va lento.
2. Repite el cálculo en el sistema de referencia del muón usando la contracción de longitudes y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
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En el marco del muón él está en reposo y es la atmósfera la que se mueve hacia él a 0,995c. La distancia entre la cima y el mar está contraída: L = L₀/γ = 1,00·10⁴/10,0 = 1,00·10³ m = 1,0 km
Tiempo de vuelo en ese marco t' = L/v = 1,00·10³/2,985·10⁸ ≈ 3,35·10⁻⁶ s = 3,35 µs
Supervivencia t'/τ₀ = 3,35/2,2 = 1,52 → e^(−1,52) ≈ 0,22
Mismo resultado, como debe ser: la probabilidad de desintegrarse es un hecho físico objetivo y no puede depender del observador. Lo que cambia es la interpretación:
- En el laboratorio: el muón vive 10 veces más (dilatación del tiempo).
- En el muón: la distancia que debe recorrer es 10 veces menor (contracción de longitudes). Ambas descripciones son dos caras del mismo fenómeno y están ligadas por γ. Un error frecuente es aplicar las dos correcciones a la vez y obtener una supervivencia de e^(−0,152) ≈ 0,86, que sería incorrecta.
3. Compara cuantitativamente con la predicción no relativista y explica por qué el experimento se considera una prueba de la relatividad especial.
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Predicción clásica Distancia recorrida en una vida media: d = v·τ₀ = 2,985·10⁸ · 2,2·10⁻⁶ ≈ 657 m
Fracción que alcanzaría los 10 km (10 000 m = 15,2 vidas medias): N/N₀ = e^(−15,2) ≈ 2,5·10⁻⁷ Es decir, del orden de 1 muón por cada 4 millones, sin contar la pérdida de flujo por dispersión. Con los flujos reales, el detector costero no registraría prácticamente nada.
Contraste con la observación
- Predicción clásica: 2,5·10⁻⁷ (≈ 0,000025 %).
- Predicción relativista: 0,22 (≈ 22 %).
- Observación: flujo apreciable, compatible con el 22 %. La discrepancia es de casi seis órdenes de magnitud: no es un efecto de segunda corrección, es la diferencia entre «nada» y «una quinta parte».
Por qué es una prueba de la relatividad El resultado se predice con dos ingredientes: (1) la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos inerciales y (2) la vida media propia es un invariante. No hace falta conocer la estructura interna del muón. Además, la consistencia entre el cálculo en dos marcos refuerza el resultado: la relatividad no solo «alarga la vida», sino que hace que la descripción sea coherente en cualquier sistema inercial.
Matiz de rigor: se ha supuesto que los muones conservan su energía; si perdieran energía en la atmósfera, γ disminuiría y la supervivencia sería menor, pero seguiría siendo incompatible con la predicción clásica.