Cubesat de 600 km: ¿basta un solo encendido para llegar a la órbita geoestacionaria?
Un cubesat de 850 kg debe quedar en una órbita circular a 600 km de altura sobre la superficie terrestre. Datos: G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_T = 5,97·10²⁴ kg, R_T = 6,37·10⁶ m. La telemetría confirma una velocidad orbital de 7,56 km/s. En la revisión posterior, un ingeniero afirma: «como la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es proporcional a su masa, un satélite gemelo de 1700 kg necesitaría el doble de velocidad orbital para mantenerse en esa misma órbita». Otro miembro del equipo propone alcanzar la órbita geoestacionaria (r = 4,22·10⁷ m) con un único encendido del motor en la órbita baja, aportando exactamente la diferencia de energía mecánica entre ambas órbitas circulares; con esa cifra se dimensiona el depósito de combustible. El satélite se trata como masa puntual, la Tierra como esfera homogénea y se desprecia todo rozamiento.
1. Calcula la velocidad orbital y el periodo del cubesat en la órbita de 600 km y valora razonadamente la afirmación del ingeniero.
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Radio de la órbita: r = R_T + h = 6,37·10⁶ + 6,00·10⁵ = 6,97·10⁶ m.
Producto GM_T = 6,67·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ = 3,98·10¹⁴ N·m²·kg⁻¹.
Al ser circular: GM_T·m/r² = m·v²/r ⇒ v = √(GM_T/r) = √(3,98·10¹⁴ / 6,97·10⁶) = √(5,71·10⁷) = 7,56·10³ m/s.
Periodo: T = 2πr/v = 2π·6,97·10⁶ / 7,56·10³ = 5,79·10³ s ≈ 96,5 min.
La afirmación es falsa: la masa del satélite aparece en los dos miembros de la ecuación de la dinámica (GM_T·m/r² = m·v²/r) y se cancela. La velocidad orbital solo depende de la masa del astro central y del radio de la órbita; el satélite de 1700 kg necesitaría exactamente la misma velocidad, 7,56 km/s (lo que cambia es la fuerza gravitatoria y la energía, no la velocidad).
2. Determina la energía mecánica del satélite en cada una de las dos órbitas circulares y la energía que hay que comunicarle para pasar de una a otra.
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En una órbita circular E = −GM_T·m/(2r), suma de E_c = +GM_T·m/(2r) y E_p = −GM_T·m/r.
Órbita baja (r₁ = 6,97·10⁶ m): GM_T·m = 3,98·10¹⁴ · 850 = 3,38·10¹⁷ J·m. E₁ = −3,38·10¹⁷ / (2 · 6,97·10⁶) = −2,43·10¹⁰ J. Comprobación: E_c = ½·850·(7,56·10³)² = +2,43·10¹⁰ J, coherente.
Órbita geoestacionaria (r₂ = 4,22·10⁷ m): E₂ = −3,38·10¹⁷ / (2 · 4,22·10⁷) = −4,01·10⁹ J.
Energía a comunicar: ΔE = E₂ − E₁ = −4,01·10⁹ + 2,43·10¹⁰ = 2,03·10¹⁰ J ≈ 20 GJ.
Es la cifra correcta para dimensionar el combustible, pero es una energía total, no la de un único encendido (véase la tarea siguiente).
3. Evalúa la propuesta del segundo ingeniero: ¿puede lograrse la órbita circular geoestacionaria con un solo encendido en la órbita baja aportando 2,03·10¹⁰ J? Justifica con cálculos.
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Con un solo impulso tangencial en r₁ el satélite pasa a una elipse cuyo perigeo es r₁; si se aporta toda la energía de golpe, el apogeo sería r₂ (transferencia de Hohmann), pero en r₂ la órbita es elíptica, no circular.
Semieje mayor de la elipse: a = (r₁ + r₂)/2 = (6,97·10⁶ + 4,22·10⁷)/2 = 2,46·10⁷ m. E_elipse = −GM_T·m/(2a) = −3,38·10¹⁷ / (4,92·10⁷) = −6,88·10⁹ J. Primer encendido: ΔE₁ = −6,88·10⁹ − (−2,43·10¹⁰) = 1,74·10¹⁰ J.
En el apogeo: v_apogeo = √(GM_T(2/r₂ − 1/a)) = √(3,98·10¹⁴ · 6,74·10⁻⁹) = 1,64·10³ m/s, muy inferior a la velocidad circular en r₂, √(GM_T/r₂) = 3,07·10³ m/s. El satélite quedaría cayendo hacia la Tierra por la rama elíptica.
Segundo encendido (circularización): ΔE₂ = −4,01·10⁹ − (−6,88·10⁹) = 2,87·10⁹ J.
Suma: 1,74·10¹⁰ + 2,87·10⁹ = 2,03·10¹⁰ J, es decir, la energía total coincide con ΔE, pero debe repartirse en dos impulsos. Un único encendido que aporte 2,03·10¹⁰ J deja al satélite en una elipse (o en una trayectoria con perigeo distinto) y no en la órbita circular geoestacionaria. La conclusión es: el presupuesto energético es válido, la maniobra propuesta no.