Entrada de un marco en un campo magnético: corriente inducida, fuerza y balance energético
Un marco metálico rectangular de 0,20 m de ancho (en la dirección de avance) y 0,10 m de alto, de resistencia total 2,0 Ω, penetra en una región donde existe un campo magnético uniforme B = 0,80 T perpendicular al plano del marco y dirigido hacia el interior del papel. El borde de la región es una recta vertical. Un hilo tira del marco con velocidad constante de 0,50 m/s hasta que entra por completo y después lo saca por el borde opuesto. El marco permanece siempre en el plano perpendicular a B y su autoinducción se considera despreciable. En el laboratorio, un estudiante mide el calor disipado en la resistencia durante la entrada y comprueba que coincide con el trabajo realizado por la fuerza del hilo. Después repite el ensayo duplicando la velocidad y sostiene que «la energía disipada se cuadruplica, porque la potencia disipada se cuadruplica».
1. Calcula la f.e.m. inducida y la corriente durante la entrada del marco y determina su sentido razonando con la ley de Lenz.
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Mientras el marco entra, solo el lado vertical delantero (longitud l = 0,10 m) está dentro del campo y se mueve perpendicularmente a B; los lados horizontales no contribuyen porque su velocidad es paralela a B (v × B perpendicular al hilo) y sus efectos se cancelan. El flujo magnético vale Φ = B·x·l, con x la longitud de marco ya introducida.
|ε| = |dΦ/dt| = B·l·v = 0,80 · 0,10 · 0,50 = 0,040 V.
I = ε/R = 0,040 / 2,0 = 0,020 A.
Sentido: el flujo hacia el interior del papel aumenta, así que la corriente inducida genera un campo magnético hacia el exterior del papel para oponerse a esa variación (Lenz). Visto desde el lado por el que entran las líneas, el campo inducido sale del papel y la corriente circula en sentido antihorario.
Al salir por el borde opuesto, el flujo hacia el interior disminuye y la corriente se invierte; mientras el marco está completamente dentro del campo, Φ es constante, ε = 0 e I = 0.
2. Determina la fuerza que debe ejercer el hilo, la potencia disipada y la energía total disipada en la resistencia durante la entrada. Comprueba el balance energético.
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La fuerza magnética sobre el lado delantero vale F = I·l·B = 0,020 · 0,10 · 0,80 = 1,6·10⁻³ N y se opone al movimiento. Como la velocidad es constante, el hilo debe ejercer una fuerza igual y de sentido contrario: F_hilo = 1,6·10⁻³ N.
Potencia mecánica aportada: P = F·v = 1,6·10⁻³ · 0,50 = 8,0·10⁻⁴ W. Potencia eléctrica disipada: P = I²R = (0,020)² · 2,0 = 8,0·10⁻⁴ W. Coinciden, como exige la conservación de la energía.
Tiempo de entrada: t = 0,20 / 0,50 = 0,40 s. Energía disipada: E = P·t = 8,0·10⁻⁴ · 0,40 = 3,2·10⁻⁴ J. Vía mecánica: W = F·d = 1,6·10⁻³ · 0,20 = 3,2·10⁻⁴ J.
El resultado justifica la observación del estudiante: todo el trabajo del hilo acaba como calor en la resistencia, y ese calor procede de la energía mecánica que hay que seguir aportando para mantener la velocidad constante.
3. Se duplica la velocidad de entrada, manteniendo el mismo marco y el mismo campo. Analiza la afirmación del estudiante sobre la energía disipada y explica en qué falla el razonamiento.
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Al duplicar v, la f.e.m. se duplica (ε ∝ v): ε′ = 0,080 V, e I′ = 0,040 A.
La fuerza magnética también se duplica: F′ = I′·l·B = 0,040 · 0,10 · 0,80 = 3,2·10⁻³ N. La potencia disipada se cuadruplica: P′ = F′·v′ = 3,2·10⁻³ · 1,00 = 3,2·10⁻³ W (o bien I′²R = 3,2·10⁻³ W).
Pero el tiempo de entrada se reduce a la mitad: t′ = 0,20 / 1,00 = 0,20 s. Por tanto E′ = P′·t′ = 3,2·10⁻³ · 0,20 = 6,4·10⁻⁴ J, exactamente el doble que antes, no el cuádruple.
El error del razonamiento es fijarse solo en la potencia: la energía es potencia por tiempo y el intervalo se ha dividido por dos. El resultado general es E = B²l²d·v/R para la entrada, lineal en v. Un buen control: la energía disipada es el trabajo F·d con la misma distancia d = 0,20 m, y F ∝ v.