Afinación de una cuerda con diapasón patrón: pulsos, densidad lineal y tensión
En el laboratorio de acústica se dispone de una cuerda de 0,65 m de longitud, fija por sus dos extremos, sometida a una tensión de 80 N, que se hace vibrar en su modo fundamental (un único vientre). Al sonarla junto a un diapasón patrón de 440 Hz se oyen 4 pulsos por segundo. Se aumenta ligeramente la tensión, sin cambiar la longitud, y los pulsos se reducen a 2 por segundo. El profesor pide identificar sin ambigüedad la frecuencia de la cuerda, determinar su densidad lineal de masa y decidir cuánto hay que variar la tensión para que la cuerda quede exactamente afinada con el diapasón. Se supone que la cuerda cumple f = (1/2L)·√(T/μ), que el modo es puro y que el observador no introduce error apreciable en la cuenta de pulsos.
1. Determina la frecuencia de la cuerda justificando por qué se descarta la otra solución posible.
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La frecuencia de pulsos es el valor absoluto de la diferencia de frecuencias: |f_cuerda − 440| = 4 Hz, de modo que la cuerda podría estar en 436 Hz o en 444 Hz. Los pulsos, por sí solos, no distinguen los dos casos.
El dato decisivo es el efecto de aumentar la tensión. En una cuerda fija por los extremos, f = (1/2L)·√(T/μ), de modo que al aumentar T la frecuencia de la cuerda aumenta (f ∝ √T).
• Si f_cuerda = 444 Hz, al aumentar T la diferencia con 440 crecería y los pulsos pasarían de 4 a 6 o más Hz. • Si f_cuerda = 436 Hz, al aumentar T la cuerda se acerca a 440 y los pulsos disminuyen, como se observa (de 4 a 2 Hz, lo que corresponde a f ≈ 438 Hz tras el pequeño aumento).
Conclusión: f_cuerda = 436 Hz en la situación inicial.
2. Calcula la densidad lineal de masa de la cuerda y comprueba el resultado por una segunda vía.
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Despejando de f = (1/2L)·√(T/μ): μ = T / (4L²f²) = 80 / (4 · 0,65² · 436²).
4L² = 4 · 0,4225 = 1,690 m². f² = 436² = 190 096 s⁻². Denominador: 1,690 · 190 096 = 3,21·10⁵ m²·s⁻². μ = 80 / 3,21·10⁵ = 2,49·10⁻⁴ kg/m ≈ 0,25 g/m.
Segunda vía: en el modo fundamental λ = 2L = 1,30 m, luego v = λ·f = 1,30 · 436 = 567 m/s, y μ = T/v² = 80 / (567)² = 80 / 3,21·10⁵ = 2,49·10⁻⁴ kg/m.
Ambas rutas coinciden; el orden de magnitud (décimas de gramo por metro) es el típico de un hilo de acero fino o de nylon de instrumento.
3. Determina la variación relativa de tensión necesaria para afinar la cuerda a 440 Hz y valora esta propuesta de un compañero: «basta con aumentar la tensión hasta que desaparezcan los pulsos».
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Como f ∝ √T, se cumple T′/T = (f′/f)² = (440/436)² = (1,00917)² = 1,0184.
Es decir, hay que aumentar la tensión un 1,84 %: ΔT = 0,0184 · 80 = 1,47 N, hasta T′ ≈ 81,5 N.
Comprobación: f′ = (1/2·0,65)·√(81,47/2,49·10⁻⁴) = 0,769 · √(3,27·10⁵) = 0,769 · 572 = 440 Hz.
Sobre la propuesta: desaparecer los pulsos significa que ambas frecuencias coinciden, así que el criterio cualitativo es correcto, pero tiene dos limitaciones. Primera, exige saber de antemano si hay que subir o bajar la tensión; si la cuerda estuviera en 444 Hz, aumentar la tensión alejaría la afinación y el batido crecería. Segunda, al acercarse a la coincidencia los pulsos se hacen muy lentos y el oído deja de detectarlos mucho antes de la afinación exacta (por debajo de ~1 pulso cada 2 s el método es poco fiable), por lo que conviene usar la relación cuantitativa T ∝ f² y no solo la desaparición del batido.