Lámina de caras planas y paralelas en un banco óptico: ¿se mueve la imagen?
En el banco óptico se coloca una lente convergente de distancia focal +10,0 cm, una rendija iluminada (objeto) a 15,0 cm de la lente y una pantalla en la posición en la que se forma una imagen nítida. A continuación se interpone entre la lente y la pantalla, perpendicular al eje óptico y con sus caras planas y paralelas, una lámina de vidrio de 6,0 cm de espesor e índice de refracción 1,50; la imagen deja de verse nítida en la pantalla. Un alumno del grupo afirma que «como la lámina tiene caras paralelas, el rayo que la atraviesa sale paralelo al que entró, así que la imagen no se mueve y no hay que tocar la pantalla»; otro sostiene que la imagen se desplaza 2,0 cm y que hay que mover la pantalla. Se trabaja en aproximación paraxial, con luz monocromática y despreciando el espesor de la lente.
1. Calcula la posición de la imagen sin lámina, su aumento lateral y describe su naturaleza.
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Ecuación de las lentes delgadas: 1/s′ − 1/s = 1/f, con signos en criterio de focos reales (s = −15,0 cm para objeto real, f = +10,0 cm según el convenio habitual de la lente convergente).
En valores absolutos, que es lo que se pide: 1/s′ = 1/f − 1/s = 1/10,0 − 1/15,0 = (3 − 2)/30,0 = 1/30,0 cm⁻¹ ⇒ s′ = 30,0 cm.
Aumento lateral: m = −s′/s = −30,0/15,0 = −2,0.
La imagen se forma 30,0 cm detrás de la lente (pantalla en esa posición), es real (se recoge en pantalla), invertida (signo negativo) y de doble tamaño que el objeto. El resultado es coherente: el objeto está entre f = 10 cm y 2f = 20 cm, por lo que la imagen debe ser real, invertida, mayor y situada más allá de 2f.
2. Determina el desplazamiento de la imagen al interponer la lámina de 6,0 cm y decide hacia dónde y cuánto hay que mover la pantalla.
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Una lámina de caras planas y paralelas de espesor t e índice n recorrida por un haz convergente desplaza el punto de convergencia, en el sentido de la propagación, una cantidad Δ = t·(1 − 1/n) en aproximación paraxial. El motivo físico es que la luz dentro del vidrio viaja más despacio (v = c/n) y la lámina equivale ópticamente a un espesor menor de aire: t/n en lugar de t.
Δ = 6,0 · (1 − 1/1,50) = 6,0 · (1 − 0,6667) = 6,0 · 0,3333 = 2,0 cm.
El desplazamiento es en el sentido en que viaja la luz, es decir, la imagen se aleja de la lente: pasa de 30,0 cm a 32,0 cm.
Por tanto, la pantalla debe separarse 2,0 cm de la lente (colocarse a 32,0 cm). El aumento lateral no cambia de forma apreciable porque la distancia objeto sigue siendo la misma y la lámina solo afecta al camino de convergencia.
3. Evalúa el razonamiento del primer alumno y explica en qué cambia el resultado si la lámina se coloca entre el objeto y la lente.
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El razonamiento es incorrecto porque confunde la dirección de un rayo con la posición del punto de convergencia. Es cierto que un rayo que atraviesa una lámina de caras paralelas emerge paralelo al incidente, pero desplazado lateralmente: d = t·sen(i − r)/cos r. Cuando el haz es convergente, cada rayo del cono sufre un desplazamiento distinto según su ángulo, y el conjunto vuelve a converger en un punto más alejado. La imagen se mueve aunque ningún rayo cambie de dirección.
Es más, la validez de Δ = t(1 − 1/n) es paraxial: con ángulos grandes el desplazamiento lateral depende de i y la imagen se degrada (aberración), aunque el máximo de intensidad sigue desplazado hacia fuera.
Si la lámina se coloca entre el objeto y la lente, actúa sobre el haz divergente: el objeto parece estar más cerca de la lente, a 15,0 − 2,0 = 13,0 cm. Entonces 1/s′ = 1/10,0 − 1/13,0 = 0,02308 cm⁻¹ ⇒ s′ = 43,3 cm, muy distinto de 32,0 cm. Por tanto, la posición de la lámina importa: no basta con conocer su espesor, hay que saber dónde está.