Péndulo simple en el laboratorio: pendiente, ordenada en el origen y amplitud de 25°
Para determinar la aceleración de la gravedad, un grupo mide el periodo de un péndulo simple para longitudes entre 0,200 m y 1,000 m. En cada caso cronometra 10 oscilaciones completas con un cronómetro de 0,01 s de resolución, dejando oscilar el péndulo con una amplitud aproximada de 25° y midiendo la longitud desde el punto de suspensión hasta el gancho superior de la esfera. Al representar T² frente a L obtienen una recta de pendiente (4,11 ± 0,05) s²·m⁻¹ y ordenada en el origen +0,020 s². El valor de referencia local es g = 9,81 m/s². En la puesta en común, un estudiante propone dos mejoras: «cronometrar 20 oscilaciones en lugar de 10 para eliminar el error debido al tiempo de reacción» y «no preocuparse por la amplitud, porque el periodo de un péndulo no depende de ella». El ajuste por mínimos cuadrados se considera correcto.
1. Calcula g a partir de la pendiente, con su incertidumbre, y valora la compatibilidad con el valor de referencia.
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De T = 2π√(L/g) se obtiene T² = (4π²/g)·L, de modo que la pendiente vale p = 4π²/g y g = 4π²/p.
g = 4π²/4,11 = 39,478/4,11 = 9,60 m/s².
Incertidumbre por propagación (cociente): Δg/g = Δp/p = 0,05/4,11 = 0,0122 ⇒ Δg = 9,60 · 0,0122 = 0,12 m/s².
Resultado: g = (9,60 ± 0,12) m/s².
Comparación con 9,81 m/s²: la diferencia es 0,21 m/s², superior a la incertidumbre (≈1,8σ). La discrepancia es pequeña en términos relativos (2,1 %) pero no es estadísticamente despreciable, lo que obliga a buscar un error sistemático antes de dar el resultado por bueno; la ordenada en el origen no nula y la amplitud de 25° son los dos candidatos.
2. Interpreta físicamente la ordenada en el origen de +0,020 s² y decide si invalida el valor de g obtenido de la pendiente.
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Si la longitud medida L_m difiere de la longitud efectiva en una cantidad constante δ (L_ef = L_m + δ), entonces T² = (4π²/g)(L_m + δ) = (4π²/g)L_m + (4π²/g)δ. La ordenada en el origen es b = (4π²/g)·δ, no nula.
Despejando: δ = b·g/(4π²) = 0,020 · 9,60/39,478 = 4,9·10⁻³ m ≈ 5 mm.
El signo positivo indica que la longitud efectiva es mayor que la medida, es decir, que se está midiendo la longitud corta: coherente con medir hasta el gancho superior de la esfera en lugar de hasta su centro (o con olvidar el nudo de suspensión).
Esto no invalida la g obtenida de la pendiente: un desplazamiento constante de todas las longitudes traslada la recta verticalmente pero no cambia su pendiente. Sí invalidaría, en cambio, un cálculo de g a partir de una sola medida de L y T, que arrastraría el error sistemático completo.
3. Evalúa las dos propuestas del estudiante cuantificando su efecto sobre el resultado.
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Propuesta 1 (20 oscilaciones): no elimina el error de reacción, lo reduce. Si el tiempo de reacción es de unos 0,2 s, al cronometrar 10 oscilaciones el error por oscilación es 0,02 s; con 20 oscilaciones es 0,01 s. El error aleatorio del cronómetro también se reparte mejor. Es una mejora real, pero ni elimina el efecto ni corrige un posible error sistemático (pulsar siempre tarde al arrancar y al parar).
Propuesta 2 (ignorar la amplitud): es falsa. La independencia del periodo respecto de la amplitud solo vale en el límite de pequeñas oscilaciones; la corrección al primer orden es T ≈ T₀(1 + θ₀²/16). Con θ₀ = 25° = 0,436 rad: θ₀²/16 = 0,190/16 = 0,0119, es decir, el periodo medido es un 1,19 % mayor que el ideal.
Efecto sobre g: como g = 4π²L/T², un periodo un 1,19 % alto hace que g salga bajo en (1,0119)² = 1,024, un 2,4 %: g_corregida ≈ 9,60 · 1,024 = 9,83 m/s², valor totalmente compatible con 9,81 m/s² y que explica la discrepancia de la primera tarea. La recomendación correcta es reducir la amplitud por debajo de 5° (corrección < 0,05 %) y aumentar el número de oscilaciones, aplicando ambas mejoras a la vez.