Cabrestante de subida de cajas por rampa inclinada: potencia, freno y rendimiento
Una bodega de Ribera del Duero necesita subir cajas de vendimia de 300 kg por una rampa recta de 7,0 m de longitud inclinada 25° sobre la horizontal mediante un cabrestante eléctrico. El coeficiente de rozamiento caja-rampa es 0,30 en seco y la velocidad de subida, constante, es 0,80 m/s. El tambor tiene 400 mm de diámetro y se acopla a un motor de 1450 rpm mediante un reductor de relación 38:1; el rendimiento conjunto reductor-tambor es 0,80. El motor disponible es de 2,2 kW y lleva un freno de resorte de 8 N·m sobre su eje. La campaña dura 250 días con 120 subidas diarias. El técnico de mantenimiento advierte que con lluvia la rampa se moja y que en invierno puede formarse una película de hielo. No hay contrapeso ni freno de tambor.
1. Determine la tensión del cable, el par en el tambor, el par y la potencia necesarios en el motor a velocidad constante. ¿Es adecuado el motor de 2,2 kW? Justifique la respuesta con cifras.
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1. Fuerzas sobre la caja (movimiento uniforme, suma de fuerzas nula):
- Componente del peso: mg·sen 25° = 300 · 9,81 · 0,4226 = 1243,7 N
- Normal: N = mg·cos 25° = 300 · 9,81 · 0,9063 = 2667,2 N
- Rozamiento: Fr = μN = 0,30 · 2667,2 = 800,2 N
- Tensión en el cable: T = mg(sen 25° + μcos 25°) = 1243,7 + 800,2 = 2043,9 N
2. Par en el tambor: M_t = T · r = 2043,9 · 0,20 = 408,8 N·m
3. Par en el motor: M_m = M_t/(i·η) = 408,8/(38 · 0,80) = 13,45 N·m
4. Potencia: comprobación por par y velocidad: ω = 1450 · 2π/60 = 151,8 rad/s → P = 13,45 · 151,8 = 2042 W. Comprobación por balance energético: la potencia útil en el cable es 2043,9 · 0,80 = 1635 W y, dividiendo por el rendimiento 0,80, P = 2043 W. Coincide.
Conclusión: el motor de 2200 W es suficiente, pero el margen es de solo 157 W (7,7 %), inferior a lo recomendable. Hay que sumar las pérdidas de arranque, el posible descenso de rendimiento del reductor en frío y la sobrecarga si alguien sube dos cajas. Se recomienda un motor de 3 kW o, como mínimo, verificar con el fabricante el factor de servicio y el par de arranque. El reductor debe soportar 409 N·m de par de salida, dato que hay que comprobar en su catálogo.
2. Analice la seguridad frente a retroceso: determine si el freno de 8 N·m sobre el eje del motor retiene la carga cuando el motor se desenergiza. Repita el cálculo con la rampa mojada (μ = 0,15) y con hielo (μ ≈ 0) y extraiga conclusiones.
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Al desenergizar, el rozamiento invierte su sentido y ahora ayuda a que la caja baje:
T_caída = mg(sen 25° − μcos 25°)
- Rampa seca (μ = 0,30): T = 2943 · (0,4226 − 0,2719) = 443,6 N → M_tambor = 443,6 · 0,20 = 88,7 N·m → M_motor = 88,7/(38 · 0,80) = 2,92 N·m. Coeficiente de seguridad = 8/2,92 = 2,74. Correcto.
- Rampa mojada (μ = 0,15): T = 2943 · (0,4226 − 0,1360) = 843,5 N → M_tambor = 168,7 N·m → M_motor = 5,55 N·m. Seguridad = 1,44, por debajo del 1,5-2 habitual.
- Hielo (μ ≈ 0): T = 1243,7 N → M_tambor = 248,7 N·m → M_motor = 8,18 N·m > 8 N·m del freno: la carga se escapa.
Conclusión: el freno solo es válido si se cuenta con el rozamiento, lo que es un error de diseño porque el rozamiento es una variable ambiental no controlada. Hay que dimensionar el freno para la carga libre con un coeficiente de seguridad (M ≥ 1,5 · 8,18 ≈ 12,3 N·m en el eje del motor) o, mejor, montar un freno directamente sobre el tambor o un reductor sinfín autobloqueante. Además, la parada de emergencia debe incluir un dispositivo mecánico antisobrecarga y el cable debe soportar la carga con un coeficiente mínimo de 5.
3. Evalúe el rendimiento energético del conjunto y el consumo anual. Proponga una mejora cuantificada y compare el ahorro con el consumo eléctrico real de la instalación.
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Rendimiento del plano inclinado: trabajo útil = mgh, con h = 7 · sen 25° = 2,958 m → 300 · 9,81 · 2,958 = 8706 J. Trabajo aportado por el cable = T·d = 2043,9 · 7 = 14 307 J. η_rampa = 8706/14 307 = 60,9 %. Rendimiento global = 0,609 · 0,80 = 48,7 %: más de la mitad de la energía se pierde.
Consumo anual: tiempo por subida = 7/0,80 = 8,75 s; energía en el motor = 2043 W · 8,75 s = 17 885 J = 0,00497 kWh. Con 120 · 250 = 30 000 subidas/año → 149 kWh/año, es decir, unos 22 €/año a 0,15 €/kWh. Es despreciable frente al consumo de frío de la bodega: el problema de esta instalación no es el coste energético, sino la potencia pico y la seguridad.
Mejora cuantificada: sustituir la rampa de deslizamiento por rodillos o banda (μ ≈ 0,05). Nueva tensión: 2943 · (0,4226 + 0,0453) = 1377 N → potencia en el motor = 1377 · 0,80/0,80 = 1377 W, un 33 % menos. Permite bajar a un motor de 1,5 kW y reduce el par en el tambor a 275 N·m. Alternativa: reducir el ángulo a 15° (T = 2943 · (0,2588 + 0,2898) = 1614 N), a costa de alargar la rampa hasta 9,1 m. Un contrapeso o un variador con frenado regenerativo tendrían un retorno economicista, pero no energético.