CubeSat: subida de órbita, periodo exigido y el mito de «frenar para subir»
El equipo de un CubeSat de 12 kg debe llevar su satélite desde una órbita circular de 550 km de altura hasta la órbita de misión, cuyo instrumento exige un periodo de 105 min. El motor eléctrico de a bordo puede comunicar un impulso de 120 m/s en un encendido breve. El plan previsto es un encendido prograde que introduzca al satélite en una elipse de transferencia y un segundo encendido en el apoastro para circularizar. Datos: G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_Tierra = 5,97·10²⁴ kg, R_Tierra = 6,37·10⁶ m.
En la revisión de diseño surgen dos dudas. Un compañero afirma que «para subir de órbita hay que frenar, porque los satélites de órbitas altas van más despacio», y el software de a bordo declara fallo si la excentricidad de la elipse supera 1, de modo que el jefe de misión quiere saber si el impulso disponible podría llevarlos a una trayectoria de escape. Además, el instrumento se calibró suponiendo que el periodo final fuese exactamente 105 min, y el equipo no tiene claro si ese periodo debe medirse durante la transferencia o solo al final.
1. Calcula la velocidad del satélite en la órbita circular inicial y el incremento de velocidad necesario para alcanzar la velocidad de escape desde esa órbita. ¿Puede el encendido de 120 m/s producir una trayectoria de escape? Estima la excentricidad resultante.
Read the worked answer
Radio orbital. r = R_T + h = 6,37·10⁶ + 0,55·10⁶ = 6,92·10⁶ m; GM = 6,67·10⁻¹¹ × 5,97·10²⁴ = 3,98·10¹⁴ m³/s².
Velocidad circular: v = √(GM/r) = √(3,98·10¹⁴/6,92·10⁶) = √(5,75·10⁷) = 7,59·10³ m/s ≈ 7,6 km/s.
Velocidad de escape desde esa misma órbita: v_e = √(2GM/r) = √2·v = 1,073·10⁴ m/s. El incremento necesario es Δv = 10,73 − 7,59 = 3,14 km/s.
Conclusión: los 120 m/s son solo el 3,8 % de lo necesario; el satélite no escapa en ningún caso.
Excentricidad: con v_p = 7,59 + 0,12 = 7,71 km/s, e = r_p·v_p²/GM − 1 = (6,92·10⁶ × 5,94·10⁷)/3,98·10¹⁴ − 1 = 1,03 − 1 = 0,03. Es una elipse casi circular: el software de a bordo no declarará fallo, pero el aviso estaba mal enfocado, porque el riesgo real no era la fuga sino quedarse corto de apoastro.
2. Determina la altura del apoastro y el periodo de la elipse de transferencia. ¿Se cumple con ello el requisito de 105 min? Explica qué ocurre tras el segundo encendido y qué Δv exige.
Read the worked answer
Semieje mayor de la elipse (vis-viva): 1/a = 2/r_p − v_p²/GM = 2/(6,92·10⁶) − (7,71·10³)²/3,98·10¹⁴ = 2,89·10⁻⁷ − 1,49·10⁻⁷ = 1,40·10⁻⁷ m⁻¹ → a = 7,15·10⁶ m.
Apoastro: r_a = 2a − r_p = 14,30·10⁶ − 6,92·10⁶ = 7,38·10⁶ m → altitud ≈ 1,01·10³ km.
Periodo de la elipse: T = 2π√(a³/GM) = 2π√((7,15·10⁶)³/3,98·10¹⁴) = 2π√(9,17·10⁵) = 6,02·10³ s ≈ 100 min.
Interpretación correcta del requisito: la elipse no cumple los 105 min, pero el instrumento no opera durante la transferencia. Al circularizar en el apoastro el radio pasa a ser r_a y T_c = 2π√(r_a³/GM) = 2π√((7,38·10⁶)³/3,98·10¹⁴) = 6,31·10³ s = 105 min. El requisito se cumple en la órbita final, no en la de transferencia.
Segundo encendido: por conservación del momento angular, v_a = v_p·r_p/r_a = 7,71·10³ × 6,92/7,38 = 7,23·10³ m/s, mientras que la velocidad circular a ese radio es √(GM/r_a) = 7,35·10³ m/s. Hay que añadir unos 0,12 km/s prograde, del mismo orden que el primer encendido: el presupuesto de impulso debe cubrir los dos, no solo uno.
3. El compañero insiste en que «para subir hay que frenar» y a la vez acepta que las órbitas altas son más lentas. Analiza ambas afirmaciones comparando las velocidades en periastro y apoastro de la elipse con la velocidad de la órbita circular inicial.
Read the worked answer
Velocidades en la elipse: en el periastro, 7,71 km/s; en el apoastro, 7,23 km/s. La velocidad disminuye al alejarse del centro: eso es coherente con la conservación del momento angular (r·v·senθ constante) y con la disminución de la energía potencial gravitatoria convertida en cinética al acercarse.
Qué es cierto: para órbitas circulares comparadas entre sí, v = √(GM/r), luego a mayor radio menor velocidad. La segunda afirmación es correcta en ese sentido restringido.
Dónde está el error: el encendido se realiza en el punto de la órbita actual, el futuro periastro. Para que el satélite pase de la circunferencia de 550 km a una elipse con apoastro más alto, su energía mecánica debe aumentar: E = −GMm/2a, y a crece, luego E debe crecer. En ese punto eso exige aumentar la velocidad, es decir, un impulso prograde. Frenar reduciría a y haría bajar el apoastro: sería el encendido correcto para volver a la Tierra, no para subir.
Síntesis que resuelve la aparente contradicción: después del encendido el satélite puede tener en el apoastro una velocidad (7,23 km/s) menor que la inicial (7,59 km/s) y, sin embargo, poseer más energía total, porque está mucho más lejos del centro. Velocidad local y energía orbital son magnitudes distintas; confundirlas es el origen del mito.