Dos cargas fijas en un carril: dónde se anula E y dónde se anula V
Sobre un carril aislante que ocupa el eje X, entre x = −1,0 m y x = +1,0 m, se fijan dos cargas puntuales: q₁ = +4,0 μC en x = 0 y q₂ = −9,0 μC en x = 0,30 m. Se quiere colocar una tercera carga q₃ = +1,0 μC en un punto del carril donde el campo eléctrico resultante de las dos primeras sea nulo, con la idea de que «así no habrá que hacer trabajo para traerla desde el infinito, porque donde E = 0 también será V = 0». Datos: k = 9,0·10⁹ N·m²·C⁻².
El montaje se hace en el vacío y sin influencia de otras cargas; q₃ es lo bastante pequeña como para no alterar la posición de las otras dos. Antes de fijar la posición definitiva, el responsable de seguridad pide comprobar el potencial en ese punto y en los alrededores, y advierte de que el anclaje solo admite posiciones dentro del carril. Un segundo alumno sostiene que, si en el punto elegido el potencial no es cero, bastará con buscar otro punto del eje donde V = 0 para tener también campo nulo.
1. Localiza el punto del carril donde se anula el campo resultante y justifica por qué debe estar fuera del segmento entre las cargas y del lado de q₁.
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Dentro del segmento 0 < x < 0,30 m no puede anularse: el campo de q₁ (positiva) apunta hacia +x y el de q₂ (negativa) también apunta hacia +x, porque las líneas de campo entran en la carga negativa. Los dos vectores se suman; nunca se compensan.
Fuera del segmento los campos tienen sentidos opuestos, y hay que comparar módulos. A la derecha de q₂ (x > 0,30 m), la carga de mayor módulo (q₂) es además la más cercana, así que su campo domina siempre y la suma no se anula. El único punto posible está a la izquierda de q₁, a una distancia d del origen, donde la carga menor (4,0 μC) está más cerca y puede compensar a la mayor (9,0 μC).
Igualando módulos: k·4,0·10⁻⁶/d² = k·9,0·10⁻⁶/(d + 0,30)² → 2/d = 3/(d + 0,30) → 2(d + 0,30) = 3d → d = 0,60 m.
Resultado: el campo se anula en x = −0,60 m, dentro del carril disponible (−1,0 m a +1,0 m). Obsérvese que el punto está más cerca de la carga pequeña, como debe ser para que los módulos se igualen.
2. Calcula el potencial en ese punto y el trabajo que realiza el campo al traer q₃ desde el infinito hasta él. ¿Se cumple la premisa del primer alumno?
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Potencial en x = −0,60 m (distancias 0,60 m a q₁ y 0,90 m a q₂): V = k[q₁/0,60 + q₂/0,90] = 9,0·10⁹[(4,0·10⁻⁶)/0,60 + (−9,0·10⁻⁶)/0,90] V = 9,0·10⁹(6,67·10⁻⁶ − 10,0·10⁻⁶) = 9,0·10⁹ × (−3,33·10⁻⁶) = −3,0·10⁴ V.
Trabajo del campo al traer q₃ desde el infinito (V∞ = 0): W_campo = −q₃·ΔV = −q₃(V − 0) = −1,0·10⁻⁶ × (−3,0·10⁴) = +3,0·10⁻² J. El campo realiza trabajo positivo: la carga positiva se desplaza espontáneamente hacia una zona de potencial negativo (gana energía cinética si se suelta). Un agente externo tendría que realizar −3,0·10⁻² J, es decir, retener la carga.
La premisa es falsa. E y V no se anulan a la vez. La relación E = −dV/dx indica que el campo mide la variación espacial del potencial: donde E = 0, el potencial es estacionario (aquí, un mínimo local, con V = −30 kV), no nulo. Que no haya que hacer trabajo neto para traer la carga desde el infinito solo ocurriría si V = 0, cosa que aquí no sucede.
3. Determina todos los puntos del eje donde V = 0 y compáralos con el punto de campo nulo. ¿Es cierto que basta buscar un punto con V = 0 para tener también E = 0?
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Punto nulo entre las cargas: 4,0/x = 9,0/(0,30 − x) → 4(0,30 − x) = 9x → 1,20 = 13x → x = 0,092 m.
Punto nulo a la izquierda: 4,0/d = 9,0/(d + 0,30) → 4d + 1,20 = 9d → d = 0,24 m → x = −0,24 m.
No hay solución a la derecha de q₂: para x > 0,30 m, el término de la carga negativa domina en módulo en todo el semiplano y la suma nunca se anula.
Campo en esos puntos: en x = 0,092 m, E = k·4,0·10⁻⁶/0,092² + k·9,0·10⁻⁶/0,208² ≈ 4,2·10⁶ + 1,9·10⁶ ≈ 6,1·10⁶ N/C hacia +x (los dos campos se suman). En x = −0,24 m, E ≈ 6,3·10⁵ − 2,8·10⁵ ≈ 3,5·10⁵ N/C hacia −x (domina q₁, que está más cerca).
Conclusión: hay dos puntos de potencial nulo y ninguno coincide con x = −0,60 m, donde el campo se anula. Los conjuntos {V = 0} y {E = 0} son distintos y, en general, disjuntos; buscar V = 0 no garantiza campo nulo. El criterio correcto para el equilibrio de una carga de prueba es la anulación del campo (o, equivalentemente, del gradiente del potencial).