Barra sobre carriles: frenado magnético, distancia recorrida y balance energético
Una barra conductora de 0,40 m de longitud y 50 g de masa desliza sin rozamiento sobre dos carriles paralelos horizontales separados 0,40 m, cerrados por un circuito de resistencia total 2,0 Ω. Todo el montaje está inmerso en un campo magnético uniforme de 0,50 T perpendicular al plano de los carriles y dirigido hacia el lector. Los carriles tienen 30 m de longitud útil antes del tope.
En el instante inicial se comunica a la barra una velocidad de 8,0 m/s hacia la derecha y se la deja libre, sin ningún agente externo tirando de ella. Un estudiante afirma que «la corriente inducida se opone al movimiento, pero como no hay fuerza aplicada, la barra seguirá avanzando indefinidamente con velocidad constante, igual que un móvil sin rozamiento». El técnico de laboratorio teme que la barra llegue al final de los carriles y se caiga, y quiere saber también qué fracción de la energía cinética inicial se habrá disipado en la resistencia cuando la barra se haya detenido por completo. La resistencia de los carriles se considera despreciable.
1. Determina el sentido de la corriente inducida y su valor inicial, así como la fuerza magnética inicial sobre la barra. Razona el sentido con la ley de Lenz.
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Flujo y sentido (Lenz). Al moverse la barra hacia la derecha, el área del circuito aumenta y el flujo de B (hacia el lector) aumenta. La corriente inducida debe crear un campo magnético hacia dentro de la hoja para oponerse a ese aumento; por la regla de la mano derecha, la corriente circula en sentido horario visto desde el lector.
Fuerza sobre la barra. Con la corriente en ese sentido, F = I·L × B resulta hacia la izquierda, opuesta al movimiento. Es la manifestación de la conservación de la energía: la energía cinética se convierte en energía eléctrica y esta se disipa por efecto Joule.
Valores iniciales: ε = B·L·v = 0,50 × 0,40 × 8,0 = 1,6 V I = ε/R = 1,6/2,0 = 0,80 A F = B·I·L = 0,50 × 0,80 × 0,40 = 0,16 N a = F/m = 0,16/0,050 = 3,2 m/s² (deceleración inicial).
La fuerza no es constante: depende de v a través de I, de modo que la deceleración disminuye a medida que la barra se frena.
2. Obtén v(t) y demuestra si la barra mantiene o no una velocidad constante. Calcula la distancia total recorrida y decide si llega al final de los carriles.
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Ecuación del movimiento: m·dv/dt = −B²L²v/R, es decir, dv/dt = −v/τ con τ = mR/(B²L²) = (0,050 × 2,0)/((0,50)²(0,40)²) = 0,10/0,040 = 2,5 s.
Solución: v(t) = v₀·e^(−t/τ) = 8,0·e^(−t/2,5) (SI).
La velocidad constante es imposible: la fuerza magnética es proporcional a v, así que solo se anula cuando v → 0. La barra se frena de forma asintótica; el estudiante confunde «sin rozamiento mecánico» con «sin fuerza disipativa»: aquí la disipación es electromagnética y depende del propio movimiento.
Distancia total: x = ∫₀^∞ v₀·e^(−t/τ) dt = v₀·τ = 8,0 × 2,5 = 20 m.
Decisión práctica: con 30 m de carril, la barra se detiene (en el límite t → ∞) tras recorrer unos 20 m, así que no alcanza el tope. Conviene, aun así, no confiar en el valor límite: al cabo de 5τ = 12,5 s la velocidad es 8,0·e⁻⁵ ≈ 0,05 m/s y la barra está a unos 19,9 m, es decir, prácticamente parada con 10 m de margen.
3. Calcula la energía disipada en la resistencia y compruébala integrando la potencia de Joule. ¿Qué ocurre con la distancia recorrida y con el ritmo de disipación si se duplica el campo magnético?
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Balance energético global: la única energía disponible es la cinética inicial, ya que no hay fuerza externa ni variación de energía potencial: E_dis = ½·m·v₀² = ½ × 0,050 × 8,0² = 1,6 J (el 100 % de la energía inicial).
Comprobación por efecto Joule: P = I²R = (BLv)²/R, luego ∫P dt = (B²L²/R)·∫v² dt = (B²L²/R)·v₀²·τ/2 = (0,040/2,0) × (64 × 1,25) = 0,020 × 80 = 1,6 J. Coincide exactamente, como exige la conservación de la energía.
Si B se duplica (B' = 1,0 T): τ' = mR/(B'²L²) = 0,10/0,16 = 0,625 s, cuatro veces menor. La distancia se reduce a x' = v₀·τ' = 8,0 × 0,625 = 5,0 m.
Matices que suelen fallar: la energía total disipada sigue siendo 1,6 J (no depende de B, solo de la velocidad inicial), pero se disipa cuatro veces más rápido, porque la potencia inicial P₀ = B²L²v₀²/R se multiplica por 4. La distancia escala como 1/B², no como 1/B: duplicar el campo reduce el recorrido a la cuarta parte.