Doble rendija con lámina sobre una rendija y medida repetida en agua
En el laboratorio de óptica se ilumina una doble rendija con un láser de longitud de onda desconocida. La separación entre rendijas es d = 0,250 mm y la pantalla está a D = 1,80 m. Sobre la pantalla se mide que el tercer máximo de interferencia (m = 3), contado desde el máximo central, está a 12,0 mm del centro. El banco óptico está alineado y el índice del aire se toma igual a 1.
Para comprobar el montaje, se cubre después una de las rendijas con una lámina transparente de caras plano-paralelas, de índice n = 1,50 y espesor t desconocido. El patrón se desplaza lateralmente y el máximo central se localiza ahora 16,0 mm hacia el lado de la rendija cubierta. Por último, el responsable del laboratorio propone repetir la medida con todo el montaje sumergido en agua (n = 1,33) para ver si el patrón se «comprime».
Un alumno sostiene que la lámina no debe desplazar el patrón porque «la luz sigue atravesando las dos rendijas en fase».
1. Calcula la longitud de onda del láser y el espaciamiento entre franjas. Comprueba si la aproximación de ángulos pequeños es aceptable.
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Condición de máximos: d·senθ = mλ. Para ángulos pequeños, senθ ≈ tanθ = y/D, de donde y = mλD/d y λ = y·d/(m·D) = (12,0·10⁻³ × 0,250·10⁻³)/(3 × 1,80) = 3,00·10⁻⁶/5,40 = 5,56·10⁻⁷ m = 556 nm (verde-amarillo).
Espaciamiento entre franjas: β = λD/d = (5,56·10⁻⁷ × 1,80)/(2,50·10⁻⁴) = 1,00·10⁻⁶/2,50·10⁻⁴ = 4,0·10⁻³ m = 4,0 mm. Coherente: y₃ = 3β = 12,0 mm.
Validez de la aproximación: θ₃ ≈ y₃/D = 12,0·10⁻³/1,80 = 6,7·10⁻³ rad. En ese rango, senθ y tanθ difieren en un factor 1 + θ²/6 ≈ 1 + 7·10⁻⁶, es decir, menos de 0,001 %: la aproximación es excelente y no explica ninguna discrepancia experimental.
2. Determina el espesor de la lámina y explica hacia dónde se desplaza el patrón. ¿Tiene razón el alumno que niega el desplazamiento?
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Camino óptico añadido: la onda que atraviesa la rendija cubierta recorre un camino óptico extra Δ = (n − 1)·t respecto de la otra. El máximo central se define por diferencia de caminos nula, así que debe desplazarse hacia el lado de la rendija cubierta: allí el camino geométrico es más corto y compensa el retardo introducido por el vidrio.
Desplazamiento en franjas: N = Δ/λ = (n − 1)t/λ. Con 16,0 mm y franjas de 4,0 mm, N = 4.
t = N·λ/(n − 1) = (4 × 5,56·10⁻⁷)/0,50 = 4,4·10⁻⁶ m ≈ 4,4 μm.
El alumno se equivoca. Las dos ondas ya no llegan en fase al centro geométrico: una ha acumulado un retardo adicional en el vidrio, la diferencia de fase cambia y todo el patrón se traslada. La condición «en fase» solo se recupera desplazándose lateralmente.
Matiz que conviene distinguir: si la lámina se colocase sobre las dos rendijas con el mismo espesor, el retardo sería común a ambas y no habría desplazamiento (solo un cambio global de fase, inobservable). El espaciamiento β tampoco cambia con la lámina, porque esta no modifica la diferencia de caminos entre rendijas contiguas.
3. Al sumergir el montaje en agua (n = 1,33), ¿qué le ocurre al espaciamiento y qué orden de interferencia aparece a 12,0 mm del centro? Comenta si la «compresión» afecta también al desplazamiento producido por la lámina.
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En el agua la frecuencia no cambia pero la longitud de onda se reduce: λ' = λ/n = 556/1,33 = 418 nm. El espaciamiento pasa a β' = λ'D/d = β/n = 4,0/1,33 = 3,0 mm.
A 12,0 mm del centro, con β' = 3,0 mm, el orden es m = 12,0/3,0 = 4: ese punto corresponde ahora al cuarto máximo, no al tercero. Es un buen control experimental: si el montaje está bien, el máximo que en aire era de orden 3 pasa a ser de orden 4 al sumergirlo, porque todas las distancias se reducen en el factor 1,33.
La compresión es proporcional: no se trata de un cambio de geometría del dispositivo, sino del cambio de λ en el medio; el patrón se contrae uniformemente y el número de franjas visibles en un intervalo fijo aumenta.
Efecto sobre el desplazamiento de la lámina: el número de franjas desplazadas sigue siendo N = (n_vidrio − 1)t/λ', que ahora vale 4 × 1,33 ≈ 5,3 franjas. El desplazamiento en franjas aumenta, pero en milímetros cambia menos, porque cada franja es más estrecha (5,3 × 3,0 mm ≈ 16 mm, prácticamente el mismo valor que en aire).