Fotoemisión en un cátodo de 2,25 eV: frenado, umbral y difracción de los electrones
En una práctica de efecto fotoeléctrico se ilumina un cátodo metálico, cuya función de trabajo es 2,25 eV, con luz de 400 nm. El montaje permite medir la corriente fotoeléctrica en función de la tensión aplicada y registrar la tensión de frenado. Datos: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s, c = 3,00·10⁸ m/s, e = 1,60·10⁻¹⁹ C, mₑ = 9,11·10⁻³¹ kg; puede usarse hc = 1240 eV·nm.
El profesor pide usar los mismos electrones emitidos, sin acelerarlos después, para intentar difractarlos con un cristal cuya distancia entre planos atómicos es de 0,30 nm.
Dos alumnos discuten. El primero dice que si se duplica la intensidad de la luz, la tensión de frenado se duplicará. El segundo afirma que si se cambia el láser por otro de 600 nm y se sube mucho la intensidad, al final se conseguirá arrancar electrones. El técnico advierte de que el fotocátodo se deteriora si la corriente supera 1,0 mA, pero ese límite no afecta a los cálculos de energía que se piden.
1. Calcula la energía cinética máxima de los electrones, la tensión de frenado y la longitud de onda umbral. Evalúa la afirmación del primer alumno.
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Energía del fotón: E = hc/λ = 1240/400 = 3,10 eV.
Energía cinética máxima: K_max = E − W = 3,10 − 2,25 = 0,85 eV = 1,36·10⁻¹⁹ J.
Tensión de frenado: e·V_s = K_max → V_s = 0,85 V. Es la tensión a la que la corriente se anula por completo.
Longitud de onda umbral: λ₀ = hc/W = 1240/2,25 = 551 nm. Por encima de esa longitud de onda no hay emisión, sea cual sea la intensidad.
El primer alumno se equivoca. A longitud de onda fija, la intensidad determina el número de fotones que llegan por segundo y, por tanto, la corriente de saturación (proporcional a la intensidad, si el rendimiento cuántico no cambia), no la energía de cada fotón. La tensión de frenado depende solo de la frecuencia de la luz y de la función de trabajo del material. Con el doble de intensidad la corriente se duplica y V_s sigue siendo 0,85 V: ese es precisamente el resultado que hizo insostenible el modelo ondulatorio clásico.
2. Calcula la longitud de onda de De Broglie de los electrones más rápidos y valora si el cristal de 0,30 nm sirve para difractarlos. ¿Qué habría que hacer para obtener una longitud de onda de 0,30 nm?
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Momento del electrón más rápido: p = √(2·mₑ·K) = √(2 × 9,11·10⁻³¹ × 1,36·10⁻¹⁹) = √(2,48·10⁻⁴⁹) = 4,98·10⁻²⁵ kg·m/s.
Longitud de onda: λ_dB = h/p = 6,63·10⁻³⁴/4,98·10⁻²⁵ = 1,33·10⁻⁹ m = 1,33 nm. (Atajo equivalente: λ/nm ≈ 1,226/√(K/eV) = 1,226/√0,85 = 1,33 nm.)
¿Sirve el cristal? Para difracción apreciable hace falta que λ sea del orden de la separación entre planos o menor. Con λ/d ≈ 1,33/0,30 ≈ 4,4 solo se accedería a órdenes muy bajos, con ángulos grandes y un patrón mal definido: el cristal no es adecuado para estos electrones.
Qué haría falta: acelerar los electrones, ya que λ ∝ 1/√V. Con λ/nm = 1,226/√V(V), para λ = 0,30 nm se necesita V = (1,226/0,30)² = 16,7 V. Bastaría una diferencia de potencial de unos 17 V para que la difracción fuese nítida, lo que confirma que los electrones fotoelectrónicos de esta práctica son demasiado lentos para ese cristal.
3. Analiza con números la afirmación del segundo alumno sobre el láser de 600 nm y explica qué observación experimental distinguiría un cambio de intensidad de un cambio de longitud de onda.
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Con 600 nm: E = 1240/600 = 2,07 eV, menor que W = 2,25 eV. Un fotón individual no puede aportar la energía mínima de extracción, así que no hay emisión por mucho que se aumente la intensidad: el proceso es de un fotón por electrón y las energías no se acumulan. El segundo alumno confunde intensidad con energía por fotón.
Qué sí funcionaría: usar λ < 551 nm (por ejemplo 500 nm, con K_max = 2,48 − 2,25 = 0,23 eV) o cambiar a un cátodo de menor función de trabajo.
Criterio experimental para distinguirlos: al variar la intensidad a λ fija, la corriente fotoeléctrica cambia de forma proporcional y continua, mientras que la tensión de frenado permanece constante. Al variar la longitud de onda, en cambio, V_s se desplaza linealmente con la frecuencia (recta de pendiente h/e) y, al cruzar el umbral, la corriente cae bruscamente a cero aunque la intensidad sea alta. Un corte abrupto de la señal al pasar de 400 a 600 nm, sin cambio apreciable en V_s, es la firma del efecto fotoeléctrico y no de un simple desajuste de intensidad.