Campo gravitatorio y mecánica orbital
La gravitación es un bloque fijo en la PAU canaria: campo newtoniano, potencial y dinámica de satélites. Se evalúa manejar con soltura la ley de gravitación, la superposición, la energía potencial con signo y las relaciones de una órbita circular, incluida la tercera ley de Kepler.
Reglas y magnitudes
- F = G·m₁·m₂/r², con G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². En el exterior de una masa esférica el campo es g = GM/r², radial y dirigido hacia la masa.
- Potencial V = −GM/r con origen en el infinito; energía potencial U = −GMm/r. El campo es la pendiente cambiada de signo: g = −dV/dr.
- Superposición: los campos se suman vectorialmente; los potenciales, escalarmente y con su signo.
- Órbita circular: GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r); T² = 4π²r³/(GM); E = −GMm/(2r) = −E_c = U/2.
- Velocidad de escape desde la superficie: v_e = √(2GM/R), independiente de la masa del proyectil y de la dirección de lanzamiento.
- Kepler: órbitas elípticas, áreas barridas iguales en tiempos iguales y T² ∝ r³ con constante 4π²/(GM) que depende solo de la masa central.
Ejemplo resuelto
Satélite de 800 kg a h = 600 km. Con M = 5,97×10²⁴ kg y R = 6,37×10⁶ m, el radio orbital es r = R + h = 6,97×10⁶ m, nunca 600 km. v = √(6,67×10⁻¹¹·5,97×10²⁴/6,97×10⁶) = √(5,71×10⁷) ≈ 7,56×10³ m/s. Periodo: T = 2πr/v ≈ 5,8×10³ s ≈ 97 min. Energía mecánica por unidad de masa: E/m = −GM/(2r) = −2,86×10⁷ J/kg; negativa, como corresponde a una órbita ligada. Para llevarlo al infinito harían falta +2,86×10⁷ J/kg.
Errores que cuestan puntos
- Sustituir r por la altura h en el campo, la velocidad o el periodo.
- Perder el signo negativo de V o de E y concluir que la energía total es positiva.
- Creer que la velocidad orbital depende de la masa del satélite: se cancela.
- Aplicar T² = 4π²r³/(GM) usando la masa del satélite en lugar de la del cuerpo central.
- Confundir el trabajo del campo (W = −ΔU) con el de un agente externo (W = +ΔU).