Plataforma elíptica para sala de cámara: semieje, tangente y círculo director
Un estudio de escenografía diseña una plataforma elíptica elevada 0,35 m para una sala de cámara. El cliente fija el eje mayor en 6,00 m y exige dos focos acústicos simétricos separados 4,80 m. La carpintería solo admite tangentes trazadas gráficamente y pide una plantilla en A2 a escala 1:25. El delineante anterior entregó un borrador con el semieje menor igual a 2,40 m -tomó la distancia focal como semieje- y la plantilla no cierra: el arco sobresale del borde previsto. Además, el iluminador quiere colgar dos proyectores en puntos desde los que las dos tangentes al borde elíptico formen exactamente 90°, para que el haz no invada el patio de butacas. Se dispone de una bigotera de 300 mm de abertura máxima y de una sola cartulina A2; no se permite el método del jardinero (cuerda y dos clavos) porque el borde debe quedar perfectamente definido. El jefe de taller exige, antes de cortar, la comprobación numérica de todos los elementos y la justificación del método gráfico elegido.
1. Calcula el semieje menor correcto y los valores escalados a 1:25. Explica en qué consiste el error del borrador y comprueba si la bigotera de 300 mm permite trazar los arcos necesarios.
Read the worked answer
Datos: semieje mayor $a=3{,}00$ m; distancia focal $c=4{,}80/2=2{,}40$ m.
Semieje menor: en la elipse se cumple $b^2=a^2-c^2$:
$$b=\sqrt{3{,}00^2-2{,}40^2}=\sqrt{9-5{,}76}=\sqrt{3{,}24}=1{,}80\ \text{m}$$
El borrador tomó $b=c=2{,}40$ m, es decir, confundió la distancia focal con el semieje menor. Con 2,40 m la elipse sería más «redonda» de lo que permite la separación de focos exigida y el arco se saldría del eje menor real en 0,60 m por cada lado.
Escalado 1:25 (dividir entre 25 y pasar a mm): $a=120$ mm, $b=72$ mm, $c=96$ mm.
Comprobación de la bigotera: el trazado por puntos de la elipse se resuelve con la afinidad entre la circunferencia principal (radio $a$) y la circunferencia menor (radio $b$), sin necesidad de radios grandes. El único arco de radio considerable es el del círculo director, $R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+3{,}24}=3{,}50$ m, que a 1:25 son 140 mm. Como 140 mm < 300 mm de abertura máxima, la bigotera es suficiente y no hace falta recurrir a la cuerda.
2. Traza la tangente en el punto P del borde situado a 1,80 m del centro sobre el semieje mayor (x = +1,80 m). Indica la posición de los focos, describe el método gráfico y verifica el resultado analíticamente.
Read the worked answer
Situación de los focos: $F_1(-2{,}40;\ 0)$ y $F_2(+2{,}40;\ 0)$, sobre el eje mayor y a 2,40 m del centro.
Coordenadas de P: con $x=1{,}80$ m,
$$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=1{,}80\sqrt{1-0{,}36}=1{,}80\cdot 0{,}80=1{,}44\ \text{m}$$
A 1:25, P queda a 72,0 mm del centro sobre el eje mayor y a 57,6 mm sobre el menor.
Método gráfico (propiedad focal): se unen P con $F_1$ y con $F_2$; la tangente es la bisectriz del ángulo exterior que forman los dos radios vectores, y la normal es la bisectriz del ángulo interior. Equivalentemente, se prolonga $PF_2$ hasta cortar la circunferencia focal de centro $F_1$ y radio $2a=6{,}00$ m; la recta que une ese punto con $F_1$... no: la tangente pasa por P y por la intersección de $PF_2$ prolongada con dicha circunferencia focal. Ambos caminos evitan calcular pendientes y son los exigibles en la plantilla.
Verificación analítica: la tangente en $(x_0,y_0)$ es $\dfrac{x,x_0}{a^2}+\dfrac{y,y_0}{b^2}=1$:
$$\frac{1{,}80x}{9}+\frac{1{,}44y}{3{,}24}=1\ \Rightarrow\ 0{,}20x+0{,}4444y=1$$
Corta al eje mayor en $x=5{,}00$ m y al menor en $y=2{,}25$ m. Comprobación: en $x=1{,}80$, $y=2{,}25-0{,}45\cdot 1{,}80=1{,}44$ m, que es la ordenada de P.
3. El iluminador necesita puntos desde los que las dos tangentes a la elipse formen 90°. Identifica el lugar geométrico, da su radio y explica por qué no sirve ni la circunferencia focal ni la principal. Indica además qué ocurre si el proyector se coloca dentro o fuera de ese lugar.
Read the worked answer
Lugar geométrico: el conjunto de puntos desde los que se ven dos tangentes perpendiculares a una elipse es el círculo director (circunferencia orthóptica), concéntrico con la elipse y de radio
$$R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3{,}00^2+1{,}80^2}=\sqrt{9+3{,}24}=\sqrt{12{,}24}=3{,}50\ \text{m}$$
A 1:25: 140 mm de radio, trazable con la bigotera.
Por qué no las otras circunferencias: la circunferencia focal (centro en un foco, radio $2a$) sirve para construir tangentes y normales, no define ángulos entre tangentes. La circunferencia principal (radio $a=3{,}00$ m) es el lugar de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes. Ninguna de las dos responde a la condición de 90°; usar $R=a$ daría un ángulo entre tangentes mayor de 90°.
Interpretación para el montaje: solo los puntos del círculo director dan exactamente 90°. Si el proyector se sitúa dentro del círculo director (pero fuera de la elipse), las dos tangentes se abren con un ángulo mayor de 90° y el haz se derrama sobre el patio de butacas; si se sitúa fuera, el ángulo es menor de 90° y el borde queda en penumbra. Por tanto, la tolerancia de montaje debe medirse radialmente sobre la circunferencia de 3,50 m, y conviene acotar la posición con dos coordenadas desde el centro en lugar de con una sola distancia.