Pantalla troncocónica con corte oblicuo: cónica de sección y desarrollo
Un taller de iluminación produce una pantalla troncocónica de PETG de 0,8 mm para una sala de exposiciones. La geometría es: radio de base 120 mm, radio superior 60 mm y altura 180 mm, pero el borde superior no es horizontal: se corta con un plano inclinado 30° respecto de la base, que pasa por el punto más bajo del contorno superior en el lado izquierdo. La pantalla se fabrica a partir de una sola pieza plana, con 10 mm de solape en la generatriz de unión, y el taller garantiza una tolerancia de ±2 mm en el perímetro. El material no admite correcciones: si el desarrollo queda corto, la pieza se descarta. El jefe de taller duda entre dividir la base en 12 o en 24 generatrices para el trazado y pregunta también qué tipo de curva aparece en la cara superior inclinada cuando se mira en verdadera magnitud, porque el cliente quiere grabarla con una moldura.
1. Identifica la cónica que produce el plano de corte en el cono y justifica con datos angulares si es cerrada o abierta. Explica después cómo se obtendría su verdadera magnitud y cuáles serían sus ejes.
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Cono de referencia: prolongando el tronco hasta el vértice, la altura total es
$$H=\frac{h,R}{R-r}=\frac{180\cdot 120}{60}=360\ \text{mm}$$
El semiángulo del cono cumple $\tan\alpha = R/H = 120/360 = 0{,}3333$, luego $\alpha = 18{,}43°$ respecto del eje.
Ángulo del plano de corte: 30° respecto de la base equivale a 60° respecto del eje del cono.
Criterio de clasificación: la sección es elipse si el ángulo del plano con el eje es mayor que el semiángulo del cono, es decir, si el plano corta a todas las generatrices. Aquí 60° > 18,43°, de modo que la sección es una elipse (cerrada). Si el plano hubiese sido paralelo a una generatriz (30° con la base, 60° con el eje, pero con el semiángulo igual a 60°) daría parábola; y si el ángulo con el eje fuese menor que 18,43° (plano más tumbado que la generatriz), daría hipérbola. Conviene señalar en el plano que el plano no pasa por el vértice: si pasara, la sección degeneraría en un punto o en dos rectas.
Verdadera magnitud: cambio de plano con el nuevo plano de proyección paralelo al plano de corte (o abatimiento sobre él). La elipse no está centrada en el eje del cono: su eje mayor es la verdadera distancia entre los dos puntos extremos de la sección -las generatrices más alta y más baja, que se ven en verdadera magnitud en el alzado- y el eje menor es la cuerda perpendicular a ese punto medio, que se mide en verdadera magnitud en el cambio de plano. La moldura se graba sobre la cara superior inclinada, no sobre la elipse abatida, así que hay que devolver cada punto a su generatriz.
2. Calcula el desarrollo del cono completo (generatriz y ángulo del sector) y el del anillo superior horizontal equivalente. Indica cómo se traslada el corte oblicuo a ese desarrollo.
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Cono completo: generatriz
$$L=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{120^2+360^2}=\sqrt{144000}=379{,}47\ \text{mm}$$
Ángulo del sector:
$$\theta=360°\cdot\frac{R}{L}=360°\cdot\frac{120}{379{,}47}=113{,}84°$$
Cono superior (hasta el radio 60): su generatriz es $l=L\cdot r/R = 379{,}47\cdot 0{,}5 = 189{,}74$ mm, coherente con $\sqrt{60^2+180^2}=189{,}74$ mm. El desarrollo es un sector anular de radio exterior 379,47 mm, radio interior 189,74 mm y el mismo ángulo de 113,84°; la diferencia $L-l=189{,}74$ mm es la altura inclinada del tronco.
Traslado del corte oblicuo: 1) dividir la base en $n$ partes iguales y numerar las generatrices; 2) en el alzado, cada generatriz corta al plano inclinado en un punto distinto; la longitud desde el vértice hasta ese punto se mide en verdadera magnitud en el alzado solo para las generatrices de contorno, por lo que para las intermedias se traza un arco de giro que las lleve a la posición de contorno; 3) en el desarrollo se dibujan las $n$ generatrices repartidas en el ángulo $\theta$ y sobre cada una se lleva la longitud obtenida; 4) se unen los puntos con curva continua. El borde superior del desarrollo deja de ser un arco concéntrico: es una curva abierta que sube y baja respecto del arco de radio 189,74 mm. Por último, se añaden los 10 mm de solape a lo largo de las dos generatrices extremas, no sobre los arcos.
3. Decide razonadamente entre 12 y 24 generatrices para cumplir la tolerancia de ±2 mm en el perímetro, y explica por qué el desarrollo de un cono es exacto salvo por la aproximación poligonal.
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Por qué es exacto: el cono es una superficie developable (tiene curvatura gaussiana nula), por lo que puede extenderse sobre el plano sin estirar ni romper. El único error del método es sustituir cada arco de base por su cuerda.
Error de la poligonación: para $n$ divisiones, el perímetro poligonal vale $2nR\sin(\pi/n)$ frente a la circunferencia $2\pi R$. Con $R=120$ mm:
- $n=12$: $24\cdot 120\cdot\sin 15° = 745{,}4$ mm frente a $753{,}98$ mm → error de 8,6 mm.
- $n=24$: $48\cdot 120\cdot\sin 7{,}5° = 751{,}8$ mm → error de 2,15 mm.
- $n=32$: $7680\cdot\sin 5{,}625° = 752{,}8$ mm → error de 1,2 mm.
Decisión: 12 generatrices incumplen claramente (±8,6 mm > ±2 mm) y 24 quedan en el límite, por encima de la tolerancia en el perímetro de la base. Se adopta 32 divisiones (o 36 si se quiere margen), que deja el error por debajo de 1,5 mm y absorbe además la incertidumbre del corte manual.
Matiz importante: el error no desaparece por el solape, porque el solape corrige la unión pero no la longitud del arco; y el borde oblicuo, al ser una curva más larga que el arco horizontal, acumula un error proporcionalmente mayor, por lo que la comprobación debe hacerse también sobre su longitud medida con curvímetro. En el plano se anota el número de generatrices empleado, porque condiciona la precisión del desarrollo.