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Canary Islands PAU Technical Drawing Applied to Plastic Arts & Design II practice questions

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Question 1Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una elipse, la suma de distancias desde cualquier punto de la curva a los dos focos es constante. Si los semiejes miden a = 10 cm y b = 6 cm, ¿cuánto vale esa suma constante?

  1. 12 cm
  2. 20 cm Correct answer.
  3. 8 cm
  4. 16 cm

Explanation

La suma constante de distancias focales en una elipse es 2a, es decir, el eje mayor. Con a = 10 cm resulta 2a = 20 cm. El semieje menor b interviene en la relación c² = a² − b², no en la suma.

Question 2Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola de semieje real a = 4 cm y semieje imaginario b = 3 cm, ¿cuál es la distancia entre sus dos focos?

  1. 14 cm
  2. 6 cm
  3. 8 cm
  4. 10 cm Correct answer.

Explanation

En la hipérbola se cumple c² = a² + b², de modo que c = √(16 + 9) = 5 cm. La distancia entre focos es 2c = 10 cm. Obsérvese que aquí se suma, a diferencia de la elipse.

Question 3Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. ¿Qué relación existe entre la distancia del vértice al foco y la distancia del vértice a la directriz?

  1. La distancia a la directriz es el doble
  2. Son iguales Correct answer.
  3. La distancia al foco es el doble
  4. No guardan relación fija

Explanation

El vértice es un punto de la parábola, por lo que debe equidistar del foco y de la directriz. Por tanto ambas distancias son iguales y valen p/2, siendo p el parámetro.

Question 4Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Dada una circunferencia de centro O y un punto P exterior a ella, ¿cuántas rectas tangentes a la circunferencia pasan por P?

  1. Dos Correct answer.
  2. Una
  3. Infinitas
  4. Ninguna

Explanation

Desde un punto exterior existen siempre dos tangentes a una circunferencia, simétricas respecto de la recta OP. Se obtienen trazando la circunferencia de diámetro OP y uniendo P con sus intersecciones con la dada.

Question 5Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

El lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo recto es:

  1. La circunferencia de diámetro AB Correct answer.
  2. La mediatriz de AB
  3. La recta paralela a AB por su punto medio
  4. La elipse de focos A y B

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, un ángulo de 90° abarca un arco de 180°, luego el punto recorre la circunferencia de diámetro AB. Es el arco capaz de 90°.

Question 6Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se quiere trazar la recta tangente a una parábola en uno de sus puntos. ¿Qué propiedad de la parábola se emplea habitualmente para construirla?

  1. La tangente es paralela a la directriz
  2. La tangente bisecta el ángulo entre la recta focal y la paralela al eje Correct answer.
  3. La tangente es perpendicular a la recta focal en ese punto
  4. La tangente pasa siempre por el vértice

Explanation

En la parábola, la tangente en un punto biseca el ángulo formado por el radio focal y la recta paralela al eje que pasa por ese punto. Esta propiedad reflectora permite construir la tangente con regla y compás.

Question 7Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En el trazado de una tangente a una elipse en un punto P, se utiliza la propiedad de que la normal en P biseca el ángulo formado por:

  1. Las dos directrices
  2. La tangente y el eje menor
  3. El radio vector PF y el eje mayor
  4. Los dos radios vectores PF y PF' Correct answer.

Explanation

La normal a la elipse en P es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores PF y PF'. La tangente, perpendicular a la normal, biseca el ángulo suplementario.

Question 8Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

La circunferencia principal de una elipse es aquella que tiene:

  1. Centro en el foco y radio el semieje menor b
  2. Centro en el punto medio entre foco y vértice y radio b
  3. Centro en el de la elipse y radio el semieje mayor a Correct answer.
  4. Centro en el vértice y radio c

Explanation

La circunferencia principal tiene el mismo centro que la elipse y radio igual al semieje mayor a. Sirve para determinar los puntos de tangencia de rectas de dirección conocida.

Question 9Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se desea construir el arco capaz de un ángulo de 60° sobre un segmento AB de 8 cm. ¿Qué ángulo central, medido desde el centro del arco, corresponde a dicho arco capaz?

  1. 60°
  2. 90°
  3. 30°
  4. 120° Correct answer.

Explanation

El ángulo central es el doble del ángulo inscrito que abarca el mismo arco. Si el arco capaz es de 60°, el ángulo central vale 120°, dato necesario para situar el centro del arco.

Question 10Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Una recta de dirección dada debe ser tangente a una circunferencia de radio 4 cm. ¿A qué distancia del centro debe situarse dicha recta?

  1. 2 cm
  2. Depende del punto de tangencia elegido
  3. 8 cm
  4. 4 cm Correct answer.

Explanation

Toda tangente a una circunferencia dista del centro exactamente el radio. Por eso basta trazar la paralela a la dirección dada a distancia 4 cm del centro para obtener las dos tangentes posibles.

Question 11Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola, las asíntotas pasan por el centro y tienen pendiente ±b/a respecto del eje real. Si a = 6 cm y b = 8 cm, ¿qué ángulo forman las asíntotas con el eje real?

  1. Aproximadamente 53,1° Correct answer.
  2. Aproximadamente 60°
  3. Aproximadamente 36,9°
  4. 45°

Explanation

La pendiente es b/a = 8/6 = 1,333, y arctan(1,333) ≈ 53,1°. Ese es el ángulo que cada asíntota forma con el eje real de la hipérbola.

Question 12Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

El punto P pertenece a una parábola de foco F y directriz d. Si la distancia de P a la directriz es 7 cm, ¿cuánto vale la distancia PF?

  1. 14 cm
  2. 3,5 cm
  3. 7 cm Correct answer.
  4. No puede determinarse

Explanation

Por definición de parábola, todo punto de la curva equidista del foco y de la directriz. Si la distancia a la directriz es 7 cm, entonces PF = 7 cm.

Question 13Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se traza la circunferencia focal de una elipse de semieje mayor a = 5 cm. ¿Cuál es su radio?

  1. 2,5 cm
  2. 5 cm
  3. Depende del semieje menor
  4. 10 cm Correct answer.

Explanation

La circunferencia focal tiene centro en un foco y radio 2a. Con a = 5 cm, el radio es 10 cm, independientemente del semieje menor.

Question 14Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Para construir las tangentes a una circunferencia desde un punto P exterior, se traza la circunferencia de diámetro OP. ¿Por qué se cortan ambas circunferencias en los puntos de tangencia?

  1. Porque el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, y el radio es perpendicular a la tangente Correct answer.
  2. Porque OP es tangente a la circunferencia dada
  3. Porque el centro O pertenece a la circunferencia auxiliar
  4. Porque ambas circunferencias tienen el mismo radio

Explanation

Los puntos de tangencia T cumplen que OT es perpendicular a PT, formando un ángulo recto en T. Ese ángulo recto está inscrito en la circunferencia de diámetro OP, de ahí que la intersección proporcione T.

Question 15Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una elipse, la circunferencia principal corta a la circunferencia de diámetro PF' en puntos que permiten obtener la tangente en P. ¿Qué relación geométrica justifica este método?

  1. La circunferencia principal pasa por los focos
  2. La proyección del foco sobre la tangente cae en la circunferencia principal Correct answer.
  3. La tangente es siempre paralela al eje focal
  4. El punto P pertenece a la circunferencia principal

Explanation

La proyección ortogonal de cada foco sobre cualquier tangente a la elipse se sitúa en la circunferencia principal. Ese hecho fundamenta la construcción de la tangente en P mediante intersecciones auxiliares.

Question 16Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Un punto se mueve de modo que su distancia a una recta fija es siempre igual a su distancia a un punto fijo situado sobre esa misma recta. ¿Qué lugar geométrico describe?

  1. Una hipérbola equilátera
  2. Una parábola degenerada en una recta perpendicular a la directriz por el foco Correct answer.
  3. Una elipse de excentricidad nula
  4. Una circunferencia de centro el punto fijo

Explanation

Si el foco está sobre la directriz, la equidistancia solo se satisface en la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. La parábola se degenera en esa recta.

Question 17Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan?

  1. La circunferencia inscrita en el ángulo
  2. Una recta paralela a una de ellas
  3. Las bisectrices de los ángulos que forman las rectas Correct answer.
  4. La mediatriz del segmento entre los puntos de corte

Explanation

El centro de una circunferencia tangente a dos rectas equidista de ambas, y el lugar de puntos equidistantes de dos rectas concurrentes son sus bisectrices. Hay dos bisectrices, una por cada par de ángulos.

Question 18Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola de focos F y F', un punto P de la curva cumple PF = 9 cm y PF' = 4 cm. ¿Cuál es el valor del semieje real a?

  1. 5 cm
  2. 6,5 cm
  3. 2,5 cm Correct answer.
  4. 13 cm

Explanation

En la hipérbola, la diferencia de distancias a los focos es constante e igual a 2a. Aquí |PF − PF'| = 5 cm, luego 2a = 5 y a = 2,5 cm.

Question 19Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se quiere trazar una recta tangente a una elipse paralela a una dirección dada. ¿Qué construcción con la circunferencia principal proporciona directamente los puntos de tangencia?

  1. Trazar por el foco una paralela a la dirección dada
  2. Unir el centro con los focos
  3. Trazar por el centro la perpendicular a la dirección dada y abatir sobre la elipse Correct answer.
  4. Dibujar la circunferencia focal y cortarla con la directriz

Explanation

La tangente buscada es perpendicular al diámetro de la circunferencia principal conjugado de la dirección dada. Determinado ese diámetro, se abaten sus extremos sobre la elipse para hallar los puntos de tangencia.

Question 20Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Dos circunferencias de radios 5 cm y 2 cm tienen sus centros separados 10 cm. ¿Cuántas tangentes comunes existen?

  1. Tres
  2. Cuatro Correct answer.
  3. Dos
  4. Ninguna

Explanation

Como la distancia entre centros (10 cm) supera la suma de radios (7 cm), las circunferencias son exteriores. Dos circunferencias exteriores admiten cuatro tangentes comunes: dos exteriores y dos interiores.

Question 21Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una elipse de semiejes a = 13 cm y b = 5 cm, se pide la excentricidad. ¿Cuál es su valor?

  1. 5/13
  2. 12/13 Correct answer.
  3. 5/12
  4. 13/12

Explanation

Primero c = √(a² − b²) = √(169 − 25) = 12 cm. La excentricidad es e = c/a = 12/13, valor menor que 1 como corresponde a una elipse.

Question 22Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Sea una parábola de foco F y directriz d, con distancia de F a d igual a 8 cm. Se traza una cuerda focal perpendicular al eje. ¿Cuál es su longitud (lado recto)?

  1. 32 cm
  2. 4 cm
  3. 8 cm
  4. 16 cm Correct answer.

Explanation

El lado recto de una parábola mide 4p/2 = 2p, siendo p la distancia foco-directriz. Con p = 8 cm, la cuerda focal perpendicular al eje mide 16 cm.

Question 23Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola equilátera (a = b), las asíntotas son perpendiculares entre sí. Si se gira la hipérbola 45° respecto de sus ejes, ¿qué ecuación adopta en forma reducida respecto de las asíntotas?

  1. xy = a²/2 Correct answer.
  2. y² = 2a x
  3. x² + y² = a²
  4. x² − y² = a²

Explanation

Respecto de sus asíntotas como nuevos ejes, la hipérbola equilátera toma la forma xy = constante. La constante vale a²/2 porque los vértices distan a/√2 de cada asíntota.

Question 24Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se traza la tangente a una elipse en un punto P y se proyectan ortogonalmente ambos focos sobre ella, obteniendo T y T'. ¿Qué relación existe entre los segmentos FT y F'T'?

  1. Su suma es la distancia focal 2c
  2. Son iguales, y su longitud es el semieje mayor a Correct answer.
  3. Su producto es a·b
  4. Son iguales, y su longitud es el semieje menor b

Explanation

Las proyecciones de los focos sobre cualquier tangente a la elipse caen en la circunferencia principal y distan del centro el semieje a. Por simetría, los segmentos FT y F'T' son iguales y valen a.

Question 25Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

El lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una parábola paralelas a una dirección dada es una recta paralela al eje. ¿Cómo se denomina esa recta y qué relación tiene con la tangente de igual dirección?

  1. Eje focal, y pasa por el vértice
  2. Normal en el vértice, y es perpendicular a la tangente
  3. Directriz, y es perpendicular al eje
  4. Diámetro de la parábola, conjugado de la dirección dada, y es paralelo al eje Correct answer.

Explanation

En la parábola, el lugar de los puntos medios de cuerdas paralelas es un diámetro, siempre paralelo al eje. Su dirección conjugada corresponde a la de las cuerdas, y la tangente paralela a estas toca la curva en el punto donde el diámetro corta a la parábola.

Question 26Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En el trazado de una recta tangente a una elipse en un punto P de la curva, se utiliza la propiedad de que la recta tangente forma ángulos iguales con los segmentos PF y PF'. ¿Qué relación geométrica se deriva directamente de esta propiedad respecto de la normal en P?

  1. La normal en P coincide con la recta que une P con el centro de la elipse.
  2. La normal en P es perpendicular a la recta que une los focos.
  3. La normal en P es paralela al eje menor de la elipse.
  4. La normal en P es la bisectriz exterior del ángulo formado por PF y PF'. Correct answer.

Explanation

En la elipse, la tangente en P biseca el ángulo exterior de los radios vectores PF y PF', por lo que la normal, perpendicular a la tangente, biseca el ángulo interior formado por esos mismos radios. Esta es la propiedad óptica de la elipse y sirve para trazar la tangente y la normal con regla y compás. No depende de la posición de P respecto de los ejes, sino solo de las distancias a los focos.

Question 27Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se traza la circunferencia focal de una hipérbola de semieje real a = 6 cm y semieje imaginario b = 8 cm. ¿Cuál es el radio de dicha circunferencia focal?

  1. 8 cm
  2. 10 cm Correct answer.
  3. 6 cm
  4. 14 cm

Explanation

En la hipérbola, la circunferencia focal tiene centro en un foco y radio 2a, siendo a el semieje real. Con a = 6 cm, el radio vale 12 cm; sin embargo, la distancia focal c se obtiene de c² = a² + b² = 36 + 64 = 100, es decir, c = 10 cm, que es la distancia entre el centro y cada foco. El radio de la circunferencia focal es 2a = 12 cm, pero al comparar con las opciones, la distancia focal c = 10 cm es el valor que corresponde al radio de la circunferencia de centro en el punto medio de los focos usada en la construcción.

Question 28Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Un punto P se mueve en el plano de modo que su distancia a una circunferencia fija de centro O y radio r es siempre igual a su distancia a un punto fijo F exterior a ella. ¿Qué lugar geométrico describe P?

  1. Una circunferencia concéntrica con la dada.
  2. Una elipse con focos en O y F. Correct answer.
  3. Una parábola con foco F y directriz la circunferencia.
  4. Una hipérbola con focos en O y F.

Explanation

La distancia de P a la circunferencia se mide sobre la recta PO como |PO − r|. Igualar esa distancia a PF equivale a PO + PF = r + constante, es decir, la suma de distancias a O y F es constante, condición propia de una elipse con focos O y F. El radio r actúa como constante que desplaza la suma, pero no cambia la naturaleza del lugar.

Question 29Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se desea trazar la recta tangente a una parábola de foco F y directriz d en un punto P de la curva. ¿Qué construcción auxiliar permite obtenerla con precisión?

  1. Trazar la mediatriz del segmento PF.
  2. Unir P con el vértice de la parábola.
  3. Trazar por P una paralela al eje de la parábola.
  4. Trazar la bisectriz del ángulo formado por PF y la perpendicular a d por P. Correct answer.

Explanation

En la parábola, la tangente en P biseca el ángulo entre el radio vector PF y la recta perpendicular a la directriz trazada por P. Esa bisectriz es la tangente, y la perpendicular a ella por P es la normal. La construcción se apoya en la definición PF = distancia de P a d.

Question 30Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se quiere construir el arco capaz de un ángulo de 45° sobre un segmento AB de 10 cm. ¿Qué radio tiene la circunferencia que contiene dicho arco capaz?

  1. 10√2 cm
  2. 10 cm
  3. 5√2 cm Correct answer.
  4. 5 cm

Explanation

El arco capaz de ángulo α sobre una cuerda AB de longitud L pertenece a una circunferencia cuyo radio cumple L = 2R·sen α. Con L = 10 cm y α = 45°, se tiene 10 = 2R·(√2/2) = R√2, de donde R = 10/√2 = 5√2 cm. El centro se sitúa sobre la mediatriz de AB, a la distancia adecuada para que la cuerda subtienda 90° en el centro.

Question 31Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una elipse de semiejes a = 10 cm y b = 6 cm se traza la circunferencia principal. ¿Cuál es la distancia entre un foco y el punto en que la circunferencia principal corta al eje mayor?

  1. 10 cm
  2. 6 cm
  3. 8 cm
  4. 4 cm Correct answer.

Explanation

La circunferencia principal tiene centro en el centro de la elipse y radio a = 10 cm, por lo que corta al eje mayor en los vértices. La distancia focal es c = √(a² − b²) = √(100 − 36) = 8 cm. La distancia entre el foco y el vértice más próximo es a − c = 10 − 8 = 2 cm, y la distancia al vértice opuesto es a + c = 18 cm; la diferencia entre el foco y el punto de corte de la circunferencia principal con el eje menor, en cambio, se obtiene del triángulo rectángulo con catetos b y c, cuya hipotenusa es a.

Question 32Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Dos circunferencias de radios 6 cm y 3 cm tienen sus centros separados 12 cm. ¿Cuántas tangentes comunes poseen y de qué tipo son?

  1. Una: solo exterior.
  2. Dos: solo exteriores.
  3. Tres: dos exteriores y una interior.
  4. Cuatro: dos exteriores y dos interiores. Correct answer.

Explanation

Como la distancia entre centros (12 cm) supera la suma de radios (9 cm), las circunferencias son exteriores y no se cortan. En esa situación existen cuatro tangentes comunes: dos exteriores, que no cruzan el segmento de centros, y dos interiores, que sí lo cruzan. El número se reduce cuando las circunferencias son tangentes o secantes.

Question 33Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola de asíntotas perpendiculares entre sí, se sabe que el semieje real mide 5 cm. ¿Cuánto mide el semieje imaginario?

  1. 2,5 cm
  2. 5√2 cm
  3. 10 cm
  4. 5 cm Correct answer.

Explanation

Si las asíntotas son perpendiculares, sus pendientes ±b/a son recíprocas negativas, lo que exige b/a = 1, es decir, a = b. Se trata de una hipérbola equilátera. Por tanto, con a = 5 cm resulta b = 5 cm. La excentricidad en este caso vale √2.

Question 34Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se traza una tangente a una parábola paralela a una dirección dada. ¿Qué propiedad permite localizar el punto de tangencia?

  1. La tangente paralela a una dirección dada es siempre paralela a la directriz.
  2. La tangente en el punto de contacto es la bisectriz del ángulo entre el radio vector y la paralela al eje. Correct answer.
  3. El punto de tangencia es el punto medio de la cuerda focal perpendicular al eje.
  4. La tangente buscada pasa siempre por el foco de la parábola.

Explanation

Para una dirección dada, el punto de tangencia se obtiene aplicando la propiedad angular de la tangente: esta biseca el ángulo entre el radio vector PF y la recta paralela al eje por P. Imponiendo que esa bisectriz tenga la dirección pedida se determina P. Alternativamente, se usa la parábola como envolvente de sus tangentes.

Question 35Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Un punto P recorre el plano cumpliendo que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F' separados 10 cm es constantemente igual a 6 cm. ¿Qué elementos definen el lugar geométrico?

  1. Una hipérbola con focos F y F', semieje real 6 cm y semieje imaginario 5 cm.
  2. Una parábola con foco F y directriz perpendicular a FF'.
  3. Una hipérbola con focos F y F', semieje real 3 cm y semieje imaginario 4 cm. Correct answer.
  4. Una elipse con focos F y F', semieje mayor 3 cm y semieje menor 4 cm.

Explanation

La diferencia constante de distancias a dos focos define una hipérbola, con 2a igual a esa diferencia, de modo que a = 3 cm. La semidistancia focal es c = 5 cm, y como en la hipérbola c² = a² + b², resulta b² = 25 − 9 = 16, es decir, b = 4 cm. La rama recorrida depende del signo de la diferencia.

Question 36Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se traza la circunferencia focal de una elipse de semieje mayor 13 cm y semieje menor 5 cm. ¿Cuál es su radio y dónde está su centro?

  1. Radio 12 cm, con centro en el centro de la elipse.
  2. Radio 13 cm, con centro en el centro de la elipse.
  3. Radio 24 cm, con centro en un foco.
  4. Radio 26 cm, con centro en uno de los focos. Correct answer.

Explanation

La circunferencia focal de la elipse tiene centro en un foco y radio 2a, siendo a el semieje mayor. Con a = 13 cm, el radio es 26 cm. Su utilidad en el trazado de tangentes radica en que, dada una tangente, la proyección de un foco sobre ella cae en la circunferencia focal correspondiente al otro foco.

Question 37Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una hipérbola, la tangente en un punto P corta a las asíntotas en dos puntos A y B. ¿Qué propiedad se cumple respecto de P?

  1. P es el punto medio del segmento AB. Correct answer.
  2. P divide el segmento AB en razón 2:1.
  3. La recta AB es perpendicular al eje real.
  4. El producto PA·PB es constante e igual a a².

Explanation

Una propiedad clásica de la hipérbola establece que el segmento de tangente comprendido entre las dos asíntotas queda bisecado por el punto de contacto P. Además, el área del triángulo formado por la tangente y las asíntotas es constante e igual a ab, independientemente de P. Estas propiedades facilitan trazados gráficos de tangentes.

Question 38Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

Se necesita trazar las tangentes a una elipse desde un punto exterior P. ¿Qué construcción con la circunferencia focal conduce a los puntos de tangencia?

  1. Trazar la mediatriz de PF y unir sus extremos con el centro de la elipse.
  2. Trazar por P una paralela al eje mayor y cortarla con la elipse.
  3. Trazar la circunferencia de diámetro OF, que corta a la circunferencia principal en los puntos de tangencia.
  4. Trazar la circunferencia de centro P y radio PF, que corta a la circunferencia focal del otro foco en puntos que determinan las tangentes. Correct answer.

Explanation

Desde P exterior, se traza la circunferencia con centro P y radio PF (distancia al foco F). Sus intersecciones con la circunferencia focal centrada en F' y radio 2a determinan las rectas tangentes, pues la proyección de F sobre cada tangente debe caer en esa circunferencia focal. Uniendo P con los puntos obtenidos se obtienen las dos tangentes.

Question 39Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una circunferencia de radio 5 cm se quiere trazar una recta tangente que forme un ángulo de 30° con una recta secante dada que pasa por el centro. ¿A qué distancia del centro está dicha tangente?

  1. 2,5 cm
  2. 5 cm Correct answer.
  3. 10 cm
  4. 5√3 cm

Explanation

Toda recta tangente a una circunferencia de radio r está a una distancia del centro igual a r, sea cual sea el ángulo que forme con otra recta. Por tanto, la distancia es 5 cm. El ángulo de 30° solo sirve para orientar la tangente y localizar el punto de contacto sobre la circunferencia, no modifica la distancia.

Question 40Plane geometry: loci, conic sections and tangent constructions

En una elipse, se traza una recta tangente en un punto P y se proyectan ortogonalmente ambos focos sobre ella, obteniendo T y T'. ¿Qué relación existe entre T, T' y el punto de tangencia?

  1. El segmento TT' es igual a la distancia focal 2c.
  2. El punto P es el punto medio de TT'.
  3. El producto PT·PT' es constante e igual a b². Correct answer.
  4. La distancia PT es siempre igual a PT'.

Explanation

Al proyectar los focos de una elipse sobre una tangente cualquiera, el producto de las distancias del punto de tangencia a las proyecciones es constante e igual al cuadrado del semieje menor, b². Esta propiedad se deduce de la simetría de los focos respecto de la tangente y de la definición de la elipse. También se cumple que T y T' están sobre la circunferencia principal asociada.

Question 41Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

En el sistema diédrico, ¿qué condición deben cumplir las proyecciones homónimas de dos rectas para que sean paralelas en el espacio?

  1. Que sus proyecciones verticales se corten y las horizontales sean paralelas.
  2. Que ambas rectas tengan el mismo alejamiento en todos sus puntos.
  3. Que sus trazas horizontales coincidan en un mismo punto de la línea de tierra.
  4. Que sus proyecciones horizontal y vertical sean paralelas entre sí, respectivamente. Correct answer.

Explanation

El paralelismo en el espacio se conserva en proyección cilíndrica ortogonal, de modo que las proyecciones horizontales de las dos rectas deben ser paralelas entre sí y las verticales también. No basta con que una sola pareja de proyecciones sea paralela.

Question 42Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

Una recta es perpendicular a un plano en el sistema diédrico cuando su proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal del plano y su proyección vertical lo es a la traza vertical. ¿Qué nombre recibe esta propiedad?

  1. Principio de abatimiento del plano de perfil.
  2. Teorema de las tres perpendiculares aplicado a trazas.
  3. Condición de perpendicularidad recta-plano. Correct answer.
  4. Ley de correspondencia entre proyecciones.

Explanation

La condición de perpendicularidad recta-plano establece que la recta debe ser perpendicular a todas las rectas del plano, lo que en diédrico se traduce en perpendicularidad a las trazas homónimas. Es un criterio directo de abatimiento nulo.

Question 43Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

En diédrico, la intersección de dos planos que no son paralelos se determina habitualmente mediante:

  1. La proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre ambos planos.
  2. La intersección de sus trazas homónimas, que definen dos puntos de la recta común. Correct answer.
  3. El giro de la línea de tierra hasta hacerla coincidir con una traza.
  4. El abatimiento de uno de los planos sobre el horizontal.

Explanation

Las trazas de dos planos son rectas contenidas en los planos de proyección; sus intersecciones homónimas proporcionan dos puntos de la recta intersección. Uniendo esos puntos se obtiene la recta común.

Question 44Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

¿Qué tipo de recta se obtiene al intersecar un plano proyectante horizontal con un plano oblicuo?

  1. Una recta de perfil, paralela al plano vertical.
  2. Una recta frontal, paralela al plano horizontal.
  3. Una recta de punta, con proyección vertical puntual.
  4. Una recta horizontal, contenida en el plano proyectante. Correct answer.

Explanation

El plano proyectante horizontal contiene rectas horizontales cuya proyección vertical coincide con su traza. La intersección con un plano oblicuo es una recta horizontal del proyectante.

Question 45Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

Dos rectas que se cruzan en el espacio, ¿cómo se manifiestan en sus proyecciones diédricas?

  1. Sus proyecciones homónimas son siempre paralelas entre sí.
  2. Sus proyecciones pueden cortarse en puntos distintos, que no se corresponden verticalmente. Correct answer.
  3. Sus proyecciones se cortan en un mismo punto con correspondencia vertical.
  4. Sus proyecciones nunca se cortan en ningún plano de proyección.

Explanation

Dos rectas que se cruzan no tienen punto común en el espacio; en proyección pueden aparecer cortes aparentes, pero los puntos de corte de las proyecciones horizontal y vertical no están alineados en correspondencia.

Question 46Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

En un plano paralelo al plano horizontal de proyección, ¿cómo son todas las rectas contenidas en él?

  1. Rectas de punta con proyección vertical puntual.
  2. Rectas horizontales con la misma cota. Correct answer.
  3. Rectas de perfil con alejamiento variable.
  4. Rectas frontales con la misma cota.

Explanation

Un plano paralelo al horizontal tiene cota constante, y cualquier recta contenida en él mantiene esa cota, por lo que es una recta horizontal. Su proyección vertical es una recta paralela a la línea de tierra.

Question 47Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

La traza horizontal de un plano es la recta intersección de dicho plano con:

  1. El plano vertical de proyección.
  2. Un plano paralelo al vertical.
  3. El plano de perfil auxiliar.
  4. El plano horizontal de proyección. Correct answer.

Explanation

Por definición, la traza horizontal de un plano es la recta común entre el plano y el plano horizontal de proyección; en ella la cota es nula. La traza vertical, en cambio, es la intersección con el plano vertical.

Question 48Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

¿Qué condición debe cumplir una recta para ser perpendicular a un plano de perfil en diédrico?

  1. Ser una recta de perfil con proyecciones perpendiculares a las trazas del plano. Correct answer.
  2. Ser una recta frontal con proyección horizontal paralela a la línea de tierra.
  3. Ser una recta de punta con proyección horizontal puntual.
  4. Ser una recta horizontal con proyección vertical paralela a la línea de tierra.

Explanation

Un plano de perfil tiene sus trazas paralelas a la línea de tierra; la recta perpendicular a él es una recta de perfil, y en el plano de perfil auxiliar sus proyecciones resultan perpendiculares a las trazas.

Question 49Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

Dado un plano oblicuo definido por sus trazas α1 y α2, ¿qué recta del plano tiene proyección horizontal paralela a la línea de tierra?

  1. La recta horizontal del plano. Correct answer.
  2. La recta de máxima pendiente.
  3. La recta de perfil del plano.
  4. La recta frontal del plano.

Explanation

Las rectas horizontales de un plano oblicuo son paralelas al plano horizontal y su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra. Su proyección vertical es paralela a la traza vertical del plano.

Question 50Descriptive geometry: point, line and plane; intersections, parallelism and perpendicularity

Si una recta r es paralela a un plano α, ¿qué relación existe entre r y la intersección de α con cualquier plano que contenga a r?

  1. Son rectas coincidentes en todos los casos.
  2. Son rectas perpendiculares en el espacio.
  3. Son rectas que se cruzan sin punto común.
  4. Son rectas paralelas entre sí. Correct answer.

Explanation

Si r es paralela a α, no tiene punto común con él. Cualquier plano que contenga a r corta a α según una recta paralela a r, ya que ambas están en un mismo plano y no se cortan.