Geometría plana: lugares geométricos, cónicas y tangencias
El lugar geométrico antes que el dibujo
La PAU pregunta por loci tanto en su definición como en su trazado. Los básicos son: mediatriz (equidistantes de dos puntos), bisectriz (equidistantes de dos rectas, con dos soluciones perpendiculares entre sí), circunferencia (distancia constante a un punto), rectas paralelas a una dada a una distancia d, y arco capaz: el lugar de los puntos que ven el segmento AB bajo un ángulo α, construido dibujando el ángulo α sobre A y sobre B y trazando el arco con centro en la intersección de las perpendiculares. El arco capaz resuelve tangencias y ángulos «a la vista».
Cónicas: definición focal y elementos
Cada cónica es un locus: elipse (suma de distancias a los focos = 2a), hipérbola (diferencia = 2a), parábola (equidistancia a foco y directriz). Domina los elementos -focos, ejes, vértices, radios vectores, directriz, asíntotas y excentricidad e = c/a- porque casi todos los ejercicios parten de dos datos y piden el resto. Relación fundamental de la elipse: a² = b² + c²; en la hipérbola, c² = a² + b², con c > a y e > 1.
Tangencias con fundamento
- Circunferencia: la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Tangentes desde un punto exterior P: circunferencia de diámetro OP; sus cortes con la dada son los puntos de tangencia.
- Cónicas: la tangente en un punto de elipse o hipérbola biseca el ángulo de los radios vectores (el exterior en la elipse); en la parábola biseca el ángulo entre el radio vector y la paralela al eje. Esa propiedad sustituye al cálculo.
- Dos circunferencias: cuatro tangentes comunes (dos exteriores, dos interiores), obtenidas por homotecia o por la recta radical.
Ejemplo resuelto
Circunferencia de centro O y radio 20 mm; punto P exterior a 50 mm. Traza las tangentes. Se dibuja la circunferencia de diámetro OP: corta a la dada en T1 y T2 porque el ángulo OTP es recto (Thales) y OT es radio. Las rectas PT1 y PT2 son las tangentes. El enunciado pide «las tangentes»: hay dos, y entregar una sola resta puntuación.
Errores que cuestan nota
Olvidar la segunda bisectriz; dar un solo arco capaz cuando hay dos simétricos; confundir excentricidad con aplanamiento; trazar tangentes a ojo sin justificar el punto de tangencia; y no marcar los puntos de tangencia, que forman parte de la respuesta.