Sólidos y superficies: secciones, desarrollos e intersecciones
Poliedros y superficies de revolución
Prismas, pirámides y los cinco sólidos platónicos cumplen la relación de Euler C + V = A + 2, útil para verificar un ejercicio. Las superficies de revolución (cilindro, cono, esfera, toro) se generan al girar una recta o una curva alrededor de un eje. En diédrico se dibujan el contorno aparente, las generatrices extremas y la visibilidad de cada arista.
Secciones
La sección de un poliedro por un plano es un polígono cuyos vértices son los puntos en que el plano corta a las aristas; si corta una cara sin atravesar aristas, el polígono incorpora el segmento de intersección con esa cara. Su verdadera forma se obtiene abatiendo el plano secante o por cambio de plano. En superficies de revolución: cilindro → elipse, rectángulo o circunferencia; cono → elipse, parábola, hipérbola, triángulo o circunferencia según el ángulo del plano con el eje frente al semiángulo del cono; esfera → siempre circunferencia.
Desarrollos
Antes de desarrollar hay que obtener longitudes reales: aristas por giro o abatimiento. Prisma: rectángulo de altura h y base igual al perímetro de la sección recta. Pirámide: triángulos con las aristas en verdadera magnitud. Cilindro: rectángulo de 2πr por h. Cono: sector circular de radio la generatriz g y ángulo α = 360°·r/g. Tronco de cono: diferencia de dos sectores concéntricos.
Intersecciones
Entre poliedros se buscan puntos de penetración arista-cara y se unen ordenadamente. Entre superficies curvas se emplean planos auxiliares que produzcan secciones sencillas (paralelos a la base en conos y cilindros); los puntos comunes a ambas secciones pertenecen a la curva de intersección.
Ejemplo resuelto
Cono recto de radio 30 mm y generatriz 50 mm. Desarrollo: α = 360·30/50 = 216°. Comprobación: arco de base = 2πr = 188,5 mm; con radio g = 50, el ángulo es 188,5/50 = 3,77 rad = 216°. Se traza el sector de 216° con radio 50, se abate la base como arco tangente y cada punto se traslada midiendo sobre su generatriz.
Errores frecuentes
Desarrollar sin verdadera magnitud; dar por elipse cualquier sección de cono; olvidar aristas ocultas; usar πr en lugar de 2πr; y no cerrar la curva de intersección en los contornos aparentes.