El péndulo que «no funcionaba»: dos sistemáticos y una recta
En el laboratorio de Física de un instituto de Santiago de Compostela se determina la aceleración de la gravedad con un péndulo simple. Se dispone de hilo inextensible, una esfera de 2,5 cm de radio y una regla milimetrada. La longitud se mide desde el punto de suspensión hasta la parte superior de la esfera: 0,980 m. Un cronómetro digital, con resolución de 0,01 s, mide el tiempo de 20 oscilaciones completas con una amplitud aproximada de 10°; la media de cinco series es 40,28 s. El primer cálculo da g = 9,54 m/s², frente al valor de referencia local de 9,80 m/s². El alumnado concluye que «el péndulo no funciona» y propone cronometrar 50 oscilaciones y repetir diez veces más la medida para «eliminar el error». El profesor pide analizar antes el origen de la discrepancia y no tocar todavía el cronómetro.
1. Estima la incertidumbre de la medida de g y decide si la discrepancia entre 9,54 y 9,80 es estadísticamente significativa. ¿El plan propuesto por el alumnado reduce el error?
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Periodo: T = 40,28 s / 20 = 2,014 s.
Fuentes de incertidumbre:
- Tiempo de reacción al pulsar el cronómetro: del orden de ±0,20 s sobre 40,28 s → 0,5 % en T.
- Resolución del cronómetro: 0,01 s sobre 40,28 s → 0,02 %, despreciable.
- Regla (±1 mm sobre 0,980 m) → 0,1 % en L.
Como g = 4π²L/T², la incertidumbre relativa se amplifica: Δg/g ≈ ΔL/L + 2·ΔT/T ≈ 0,1 % + 1,0 % ≈ 1,1 %, es decir, g = 9,54 ± 0,10 m/s².
La diferencia con 9,80 es 0,26 m/s², unas 2,6 desviaciones típicas. No es una fluctuación casual razonable, pero tampoco es un resultado «imposible»: hay algo sistemático detrás.
El plan no sirve. Repetir medidas y promediar reduce la componente aleatoria del error, no la sistemática. El tiempo de reacción no es solo aleatorio: el operador pulsa tarde de forma sistemática, y ese retraso no se cancela promediando. Cronometrar 50 oscilaciones mejora la precisión relativa del cronometraje, pero si el defecto está en dónde se mide L o en la amplitud, el resultado seguirá desplazado. Antes de repetir hay que identificar y corregir el sesgo.
2. Identifica las dos correcciones sistemáticas que explican la diferencia, razona en qué sentido actúa cada una y recalcula g. ¿Queda el resultado dentro de la incertidumbre?
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1. Longitud mal medida. La fórmula usa la distancia al centro de masas, no a la parte superior de la esfera. L_real = 0,980 + 0,025 = 1,005 m. Como g ∝ L, la corrección es multiplicativa: g → 9,54 · (1,005/0,980) = 9,78 m/s². Sentido: al medir L corta, se subestima g.
2. Amplitud finita. El periodo real es mayor que el de pequeña oscilación: T(θ) ≈ T₀·(1 + θ²/16). Con θ = 10° = 0,1745 rad, θ²/16 = 1,9·10⁻³, luego T₀ = 2,014/1,0019 = 2,0102 s. Como g ∝ 1/T², la corrección vale (1,0019)² ≈ 1,0038: g → 9,78 · 1,0038 = 9,82 m/s². Sentido: al usar un T inflado por la amplitud, se subestima g.
Las dos correcciones empujan en la misma dirección (hacia arriba), y eso explica por qué el valor inicial parecía tan bajo: dos sesgos acumulados del mismo signo.
Resultado final: 9,82 ± 0,10 m/s², que difiere de 9,80 en 0,2 desviaciones típicas. Compatible. Lo importante metodológicamente es que no se ha «ajustado el dato hasta que cuadre»: se han corregido dos efectos medibles, con su signo y su magnitud calculados a partir de la geometría y de la física del péndulo.
3. Diseña, con los mismos medios del laboratorio, un procedimiento que detecte el error sistemático de longitud sin conocer la masa de la esfera: describe qué se mide, qué se representa y qué se obtiene de la recta.
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Idea: el error de longitud es un desplazamiento constante (el radio de la esfera más cualquier constante de suspensión). Si se varía L y se representa T² frente a L, ese desplazamiento aparece como término independiente y la pendiente permite obtener g sin saber dónde está el centro de masas.
Procedimiento:
- Medir el periodo para 6–7 longitudes entre 0,40 m y 1,00 m, siempre con el mismo criterio (hasta la parte superior de la esfera) y con amplitud pequeña (≤ 5°) para anular el efecto de amplitud.
- En cada longitud, cronometrar 20 oscilaciones y dividir entre 20; repetir 3 veces y promediar.
- Representar T² (eje y) frente a L (eje x) y ajustar una recta.
Interpretación: de T² = (4π²/g)·L + b se obtiene:
- Pendiente: 4π²/g → g = 4π²/pendiente. Es independiente de dónde se mida L, porque un desplazamiento constante no afecta a la pendiente.
- Ordenada en el origen: b = (4π²/g)·ΔL, de donde ΔL = b/pendiente. Si sale ≈ 0,025 m, confirma que el punto de medida está 2,5 cm por encima del centro de masas; si sale un valor distinto, revela otra constante no considerada.
Control adicional: repetir la serie completa con amplitud 20° para comprobar que la pendiente no cambia, lo que confirma que el efecto de amplitud es un desplazamiento y no una alteración de la escala.