Rosetón seriado: círculos tangentes en un sector de 60°
Un taller de vidrieras artísticas prepara un rosetón seriado para la puerta de acceso de un centro cultural. La vidriera se compone de 12 sectores idénticos de 60° y radio exterior 450 mm. El diseño de cada sector consiste en una sucesión de círculos de vidrio emplomado: cada uno es tangente a los dos radios del sector y al círculo anterior, y el primero es además tangente al arco exterior. El perfil de plomo disponible no admite curvas de radio inferior a 8 mm y el cortador de vidrio no puede seguir arcos menores de 12 mm. El plano de taller se dibuja a escala 1:5 en A3 y el taller quiere saber cuántos círculos caben realmente en cada sector antes de encargar el material y las plantillas. También sospechan que la zona central del sector no es representable a esa escala y piden una solución de representación para el taller.
1. Calcula el radio del primer círculo y la relación entre círculos consecutivos, y decide cuántos círculos puede llevar realmente cada sector. Comprueba numéricamente la tangencia entre los tres primeros.
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1. Primer círculo. El centro debe equidistar de los dos radios, luego está en la bisectriz del sector. Si el semiángulo es α = 30° y la distancia del centro al vértice es x, el radio es r = x · sen α. La tangencia interior con el arco exterior exige x + r = R = 450 mm. Por tanto:
r = R · sen α / (1 + sen α) = 450 · 0,5 / 1,5 = 150 mm, con x = 300 mm.
2. Relación entre círculos consecutivos. Dos círculos tangentes a los dos radios son homotéticos respecto del vértice: x₂/x₁ = r₂/r₁ = k. La tangencia entre ambos exige x₁ − x₂ = r₁ + r₂. Sustituyendo:
(r₁ − r₂)/sen α = r₁ + r₂ → k = (1 − sen α)/(1 + sen α) = 0,5/1,5 = 1/3.
Así: r₁ = 150,00 mm; r₂ = 50,00 mm; r₃ = 16,67 mm; r₄ = 5,56 mm.
3. Comprobación de tangencia. Centros a x₁ = 150/0,5 = 300; x₂ = 50/0,5 = 100; x₃ = 16,67/0,5 = 33,33. Distancia entre centros 1 y 2 = 200 = 150 + 50 ✓. Distancia entre 2 y 3 = 66,67 = 50 + 16,67 ✓. Los puntos de contacto caen sobre la bisectriz.
4. Decisión. El límite de 8 mm (plomo) descarta el cuarto círculo (5,56 mm). El límite de 12 mm del cortador es aún más restrictivo: obligaría a detenerse en el tercero (16,67 mm) o incluso a replantear el diseño. Cada sector llevará tres círculos, no cuatro, y conviene documentar el criterio en el plano.
2. Explica cómo se traza la serie con regla y compás en el plano de taller y qué condición geométrica garantiza la tangencia con los dos radios. ¿Qué ocurre si el centro se desplaza fuera de la bisectriz?
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Condición geométrica. Un círculo es tangente a dos rectas concurrentes si y solo si su centro equidista de ambas. El lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos radios es la bisectriz, de modo que todo centro válido está sobre ella y los puntos de tangencia son los pies de las perpendiculares trazadas desde el centro a cada radio.
Trazado práctico.
- Se dibuja el sector de 60° y su bisectriz.
- Para un radio r elegido, se trazan rectas paralelas a cada radio a distancia r (interiores al sector). Su intersección con la bisectriz da el centro; basta con una paralela y la bisectriz.
- Se trazan las perpendiculares a los radios para localizar los puntos de tangencia y se dibuja el arco.
- Para el círculo siguiente se repite con el radio obtenido de la relación k = 1/3, o bien se localiza el centro por intersección de la bisectriz con una paralela a distancia r₂.
Si el centro se desplaza fuera de la bisectriz. El círculo deja de ser tangente a uno de los radios: corta a uno y no llega al otro. Aparecen dos puntos de intersección en lugar de un punto de tangencia, el vidrio no apoya en el plomo en las dos direcciones y la junta no es estanca; además, la serie deja de ser homotética y la relación k = 1/3 desaparece, por lo que el cálculo de los radios siguientes ya no sirve. La comprobación de obra es medir la distancia del centro a cada radio: deben coincidir con el radio del círculo.
3. El plano se imprime a 1:5 y la copia se reduce al 70,7 % para encuadernarla en A4. Un operario mide con regla el radio del tercer círculo y obtiene 2,4 mm. ¿Qué radio real tiene y qué desviación hay respecto al cálculo teórico? ¿Cómo debería haberse resuelto la representación de la zona central?
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Cadena de factores. Sobre el plano original, el radio dibujado es r₃/5 = 16,67/5 = 3,33 mm. La reducción al 70,7 % multiplica todas las longitudes por 0,707: 3,33 · 0,707 = 2,36 mm, coherente con los 2,4 mm medidos.
Radio real. Hay que deshacer los dos factores, dividiendo:
r real = 2,4 · 5 / 0,707 = 16,97 mm ≈ 17,0 mm.
Desviación frente a 16,67 mm: (16,97 − 16,67)/16,67 = 1,8 %, explicable porque la regla aprecia 0,05 mm y eso son 0,35 mm reales. Es un error aceptable para comprobar, no para fabricar.
Diagnóstico de representación. A 1:5 los círculos tercero y cuarto miden 3,33 mm y 1,11 mm de radio: el segundo es menor que el grosor de línea normalizado (0,35 mm), de modo que el dibujo no informa, y además está por debajo del mínimo de plomo. La escala 1:5 es válida para la visión de conjunto, no para la zona central.
Solución. Añadir una vista de detalle de la zona central a escala 1:1 (o 2:1), con el arco exterior interrumpido por línea de rotura, y acotar numéricamente los radios reales (150, 50 y 16,7 mm) y las distancias de los centros al vértice. La regla que debe quedar clara en el taller: sobre una copia reducida no se mide nunca; la cota escrita manda, y la escala del cajetín solo se refiere al original.