Elevar un satèl·lit amb una sola encesa
Un satèl·lit artificial de 1.200 kg descriu una òrbita circular al voltant de la Terra a 800 km d'altitud. L'equip de control vol elevar-lo a una òrbita circular de 1.500 km d'altitud i preveu fer-ho amb una única encesa del motor, que canviï el mòdul de la velocitat sense alterar-ne la direcció en el punt d'ignició. El motor pot subministrar 1,2 × 10^9 J d'energia útil. Dades: M_T = 5,97 × 10^24 kg, R_T = 6,37 × 10^6 m, G = 6,67 × 10^-11 N m^2 kg^-2. La massa del satèl·lit no canvia de manera apreciable. Abans de decidir, el control de missió vol saber la velocitat i el període actuals, l'energia necessària per passar d'una òrbita circular a l'altra i si la maniobra és compatible amb una sola encesa. També li preocupa que el satèl·lit pugui quedar en una òrbita el·líptica no desitjada si la maniobra no es completa.
1. Calcula la velocitat orbital i el període del satèl·lit a 800 km d'altitud.
Read the worked answer
El radi orbital és r1 = R_T + 800 km = 6,37×10^6 + 8,00×10^5 = 7,17×10^6 m. Per a una òrbita circular, GMm/r^2 = mv^2/r, així que v = √(GM_T/r). Amb GM_T = 6,67×10^-11 × 5,97×10^24 = 3,98×10^14 m^3 s^-2: v1 = √(3,98×10^14 / 7,17×10^6) = √(5,55×10^7) = 7,45×10^3 m/s. El període és T = 2πr/v = 2π×7,17×10^6 / 7,45×10^3 = 6,05×10^3 s, és a dir, uns 101 minuts. La velocitat no és la de la superfície: depèn de r, i a 800 km és un 6% menor que a la superfície.
2. Calcula l'energia mecànica a les dues òrbites circulars i l'increment total necessari. Compara'l amb l'energia que pot donar el motor.
Read the worked answer
Per a una òrbita circular E = −GMm/(2r). r1 = 7,17×10^6 m; r2 = 6,37×10^6 + 1,50×10^6 = 7,87×10^6 m. E1 = −(3,98×10^14 × 1.200)/(2×7,17×10^6) = −4,78×10^17 / 1,43×10^7 = −3,34×10^10 J. E2 = −4,78×10^17 / (2×7,87×10^6) = −4,78×10^17 / 1,57×10^7 = −3,04×10^10 J. ΔE = E2 − E1 = +2,97×10^9 J. El motor només en pot aportar 1,2×10^9 J, així que li falten uns 1,8×10^9 J. No n'hi ha prou amb una encesa d'aquesta energia. A més, l'energia cinètica disminueix en pujar, però l'energia potencial augmenta més; el balanç net és positiu.
3. És possible arribar a l'òrbita circular de 1.500 km amb una sola encesa? Quina és l'alternativa si no es pot augmentar l'energia del motor?
Read the worked answer
No. Una encesa única en el punt de l'òrbita de 800 km només pot posar el satèl·lit en una el·lipse de transferència; el punt d'ignició passa a ser el perigeu i l'apogeu pot arribar a 1.500 km, però en aquest apogeu la velocitat és inferior a la circular i cal una segona encesa per circularitzar. Amb una sola encesa el satèl·lit quedaria en una òrbita el·líptica i no en la circular demanada. Si el motor no pot aportar els 2,97×10^9 J totals, alternatives: (a) acceptar una altitud menor; amb 1,2×10^9 J, E2' = E1 + 1,2×10^9 = −3,22×10^10 J, d'on r2' = −GMm/(2E2') = 4,78×10^17/(6,44×10^10) = 7,42×10^6 m, altitud ≈ 1,05×10^6 m = 1.050 km; (b) repartir l'energia en diverses enceses, que no redueix l'energia total necessària sinó el pic de potència; (c) reduir la massa o canviar de motor. Cal explicitar que la segona encesa també consumeix energia.