Protons en un camp magnètic i un detector fora de l'òrbita
En una pràctica de laboratori, un feix de protons s'accelera des del repòs amb una diferència de potencial de 2,0 kV i entra perpendicularment en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme de 0,35 T. El camp és perpendicular al pla de la trajectòria. Un detector de 2,0 mm de diàmetre està situat a 12 cm del punt d'entrada, sobre la perpendicular a la velocitat inicial continguda en el pla de l'òrbita. Dades: q = 1,60×10^-19 C, m_p = 1,67×10^-27 kg. Es vol saber si el feix arriba al detector, quin camp caldria per fer-lo arribar i com afecta una fluctuació de l'1% en la tensió acceleradora. El feix té una dispersió d'energia petita, però no nul·la, i el camp magnètic no és perfectament uniforme a les vores.
1. Calcula la velocitat dels protons, el radi de la seva trajectòria i el període de revolució amb B = 0,35 T.
Read the worked answer
La velocitat surt de qV = ½mv^2: v = √(2qV/m) = √(2×1,60×10^-19×2.000/1,67×10^-27) = √(3,83×10^11) = 6,19×10^5 m/s. Com que v ≪ c, la mecànica no relativista és suficient. El radi és r = mv/(qB) = (1,67×10^-27×6,19×10^5)/(1,60×10^-19×0,35) = 1,03×10^-21/5,60×10^-20 = 1,85×10^-2 m, és a dir, 1,85 cm. El període no depèn de la velocitat per a una partícula no relativista: T = 2πm/(qB) = 2π×1,67×10^-27/(5,60×10^-20) = 1,87×10^-7 s.
2. El detector de 12 cm pot rebre el feix? Quin camp caldria per fer-lo arribar al centre del detector?
Read the worked answer
El detector és a 12 cm del punt d'entrada sobre la normal a la velocitat inicial, que és justament la direcció del centre de l'òrbita. Com que el radi és només 1,85 cm, l'òrbita no arriba mai a 12 cm i el feix no pot impactar en el detector. Per fer que el centre de la trajectòria caigui sobre el detector cal r = 0,12 m. Aïllant B: B = mv/(qr) = (1,67×10^-27×6,19×10^5)/(1,60×10^-19×0,12) = 1,03×10^-21/1,92×10^-20 = 5,39×10^-2 T, és a dir, uns 0,054 T. És un camp unes 6,5 vegades més feble que el de 0,35 T.
3. Si la tensió fluctuï un 1%, quina incertesa relativa té el radi? El detector de 2,0 mm admet aquesta fluctuació?
Read the worked answer
Com que v ∝ √V i r = mv/(qB), el radi també és proporcional a √V. Per tant, Δr/r = ½ ΔV/V = 0,5%. Si el camp s'ajusta perquè r = 12,0 cm, la variació és Δr = 0,005×120 mm = 0,6 mm. El detector té 2,0 mm de diàmetre, o sigui 1,0 mm de radi; si el feix està centrat, una fluctuació d'1% encara cau dins de l'obertura. Ara bé, la dispersió pròpia del feix i la no uniformitat del camp a les vores poden afegir desalineacions: cal centrar amb marge i no fer funcionar el detector just al límit.