Projectar una diapositiva amb una lent de distància focal limitada
En una aula de física es vol projectar una diapositiva de 5,0 cm d'amplada sobre una pantalla situada a 2,00 m de la diapositiva. La imatge ha de tenir 1,00 m d'amplada. Es disposa de dues lents convergents, una de 85 mm i una altra de 100 mm de distància focal, i d'un carril que permet moure la lent entre la diapositiva i la pantalla, però la distància entre diapositiva i pantalla no es pot canviar. La diapositiva està ben il·luminada i centrada a l'eix de la lent. Es vol saber quina lent triar, on cal col·locar-la i quina imatge s'obtindrà realment. També cal tenir en compte que la imatge queda invertida i que la profunditat de camp és petita; si la lent no dona exactament 1,00 m, es pot retallar la diapositiva o acceptar una mida lleugerament diferent.
1. Calcula la distància focal que caldria i la posició de la lent per obtenir exactament 1,00 m d'amplada.
Read the worked answer
L'augment lateral és m = di/do = 1,00/0,050 = 20. Amb la distància objecte-imatge fixa: do + di = 2,00 m i di = 20do, d'on 21do = 2,00 m, do = 0,0952 m i di = 1,905 m. La lent prima dona 1/f = 1/do + 1/di = 1/0,0952 + 1/1,905 = 10,50 + 0,525 = 11,03 m^-1, així que f = 0,0907 m = 90,7 mm. La lent s'hauria de col·locar a 9,5 cm de la diapositiva i a 1,905 m de la pantalla. La imatge seria real, invertida i d'1,00 m d'amplada.
2. Analitza les dues lents disponibles amb la distància diapositiva-pantalla fixa de 2,00 m. Quina imatge dona cadascuna?
Read the worked answer
Per a L = do + di = 2,00 m, 1/f = 1/do + 1/(L−do), que porta a do^2 − Ldo + fL = 0. Per a f = 85 mm = 0,085 m: do = [2,00 − √(4,00 − 4×0,085×2,00)]/2 = (2,00 − 1,822)/2 = 0,0890 m; di = 1,911 m; m = 21,5; amplada = 5,0 cm × 21,5 = 1,07 m. Per a f = 100 mm = 0,100 m: do = (2,00 − √(4,00 − 0,800))/2 = (2,00 − 1,789)/2 = 0,1056 m; di = 1,894 m; m = 17,9; amplada = 0,897 m. Ambdues donen imatge real i invertida. La de 85 mm s'acosta més a 1,00 m, però se supera una mica; la de 100 mm es queda curta.
3. Si es tria la lent de 85 mm, on es col·loca i quina limitació té? Com es pot obtenir exactament 1,00 m?
Read the worked answer
Amb f = 85 mm i L = 2,00 m, la posició útil és do = 8,90 cm i di = 1,91 m, amb m = −21,5. Cal posar la lent a 8,9 cm de la diapositiva. La limitació és que la distància objecte-imatge està fixada: no es pot ajustar la mida movent només la lent sense perdre l'enfocament. Per obtenir exactament 1,00 m d'amplada amb aquesta lent, cal reduir l'objecte a 1,00/21,5 = 4,65 cm, per exemple tapant els marges de la diapositiva, o acceptar una imatge de 1,07 m. Si es mou la lent a l'altra solució de l'equació, la imatge és molt més petita i no serveix per projectar.