Rosetón de forja: circunferencias tangentes y arco apuntado
En un taller de forja artística de Logroño se ha contratado una reja para una vivienda rehabilitada del casco antiguo. El módulo central es un rosetón circular de 240 mm de diámetro exterior dividido en ocho sectores iguales de 45°. En cada sector debe alojarse una circunferencia tangente a los dos radios que lo limitan y tangente interiormente a la circunferencia exterior; el herrero necesita el radio exacto porque cortará los aros con una dobladora y no dispone de trazador de curvas. Sobre la reja se sitúa un arco apuntado de 300 mm de luz, trazado con dos arcos de radio igual a la luz y centros en los puntos de arranque; el carpintero debe conocer la flecha exacta para encargar el dintel. El delineante trabaja solo con compás, regla y escuadra, con tolerancia de ±0,5 mm en cotas, y no puede medir sobre el plano porque el dibujo se entrega sin acotar.
1. Calcula el radio de la circunferencia tangente a los dos radios del sector y a la circunferencia exterior, y describe la construcción gráfica que permite obtenerla con regla y compás.
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Planteamiento analítico. El centro O' de la circunferencia buscada está en la bisectriz del sector, a 22,5° de cada radio. Si d = OO' y r es el radio pedido:
- Tangencia a los dos radios: r = d · sen 22,5°.
- Tangencia interior con la circunferencia de R = 120 mm: d + r = 120.
Sustituyendo: d(1 + 0,38268) = 120 → d = 120 / 1,38268 = 86,79 mm; r = 86,79 × 0,38268 = 33,21 mm. Comprobación: 86,79 + 33,21 = 120,00 ✓
Construcción (homotecia de centro O).
- Trazar la bisectriz del sector de 45°.
- Elegir un centro auxiliar O₁ sobre la bisectriz y dibujar la circunferencia tangente a los dos radios: su radio es la perpendicular desde O₁ a un radio.
- Medir A = OO₁ + ρ₁, distancia de O al punto de esa circunferencia más alejado de O.
- Aplicar la homotecia de centro O y razón k = 120/A: el punto A se lleva al punto T situado a 120 mm de O sobre la bisectriz, que es el punto de tangencia con la circunferencia exterior; O' es la imagen de O₁.
- Trazar la circunferencia de centro O' y radio O'T = 33,21 mm.
Por qué funciona: todas las circunferencias tangentes a dos rectas concurrentes son homotécias entre sí con centro en el vértice; la condición de tangencia interior fija la razón, de modo que basta un caso auxiliar y una sola homotecia. El método evita el tanteo y el error de medir sobre el plano.
2. Determina la flecha del arco apuntado de 300 mm de luz y el ángulo con que se cruzan los dos arcos en la clave. Indica qué datos darías al taller para pedir la pletina.
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Los centros O₁ y O₂ están en los arranques, separados 300 mm, y cada arco tiene radio 300 mm. El vértice A cumple O₁A = O₂A = O₁O₂ = 300 mm, luego el triángulo O₁O₂A es equilátero.
- Semiluz = 150 mm; flecha = √(300² − 150²) = √(90.000 − 22.500) = √67.500 = 259,81 mm.
- Por ser equilátero, el ángulo en A es de 60°; como las tangentes son perpendiculares a los radios, el ángulo entre tangentes también es de 60°. No es un arco de medio punto: empuja en diagonal y trabaja a compresión.
- Cada arco abarca 60° de su circunferencia: longitud = 300 · (π/3) = 314,16 mm por arco, es decir 628,3 mm de pletina por arco, más solape para la soldadura en la clave.
Errores típicos que conviene descartar: tomar la flecha igual al radio (300 mm) o situar los centros en los extremos del dintel en lugar de en los arranques; en ambos casos el arco no cierra en la clave con tangencia correcta.
3. El taller pregunta si las ocho circunferencias dejan suficiente hueco. Calcula qué porcentaje del área del círculo exterior ocupan y valora si el resultado es coherente con la tolerancia de ±0,5 mm.
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Área del círculo exterior: π · 120² = 45.239 mm². Área de las ocho circunferencias: 8 · π · 33,21² = 8 · π · 1.102,9 = 27.719 mm².
Porcentaje = 27.719 / 45.239 = 0,6127 → 61,3 %. El cálculo se simplifica porque π se cancela: 8 · 33,21² / 120² = 0,6127.
Lectura del resultado. Queda un 38,7 % de hueco, suficiente para que la reja no se lea como un disco macizo y para que la dobladora no fuerce los aros. El contacto con la circunferencia exterior no es un detalle estético: es lo que rigidiza el módulo, por lo que no se puede reducir r para 'ganar aire' sin romper la tangencia.
Tolerancia. Con ±0,5 mm se admite 33,2 ± 0,5 mm, pero conviene anotar en el plano el valor de referencia y el punto de tangencia, porque un error de 0,5 mm en el radio desplaza el contacto y obliga a retocar la soldadura. Lo correcto es acotar r = 33,2 y no acotar la posición del centro, que queda definida por la bisectriz y la tangencia.