Cambio de órbita de un satélite de observación: energía, periodo y peso aparente
El consorcio que opera un pequeño satélite de observación del territorio valenciano estudia trasladarlo desde su órbita circular actual, a 550 km de altura, hasta otra circular de 800 km para prolongar su vida útil frente al rozamiento atmosférico. El satélite tiene 120 kg de masa y el equipo dispone de G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_T = 5,97·10²⁴ kg y R_T = 6,37·10⁶ m. En la reunión de preparación, un ingeniero afirma que «si duplicamos la altura, se duplica el periodo orbital», y otro sostiene que «como en órbita el satélite no pesa, su masa no influye en ningún cálculo». El responsable de lanzamiento quiere saber, además, si la energía necesaria para el cambio de órbita es despreciable frente a la energía que costó poner el satélite en órbita desde la superficie. Antes de aprobar la maniobra, el comité pide valores numéricos concretos y una valoración crítica de las dos afirmaciones.
1. Calcula la velocidad orbital y el periodo del satélite en las dos órbitas (550 km y 800 km) y evalúa la afirmación de que al duplicar la altura se duplica el periodo.
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Para una órbita circular, la gravitación es la fuerza centrípeta: GMm/r² = mv²/r ⇒ v = √(GM/r), con GM = 6,67·10⁻¹¹·5,97·10²⁴ = 3,98·10¹⁴ N·m²/kg.
Órbita A (550 km): r_A = 6,37·10⁶ + 5,50·10⁵ = 6,92·10⁶ m. v_A = √(3,98·10¹⁴/6,92·10⁶) = √(5,75·10⁷) ≈ 7,58·10³ m/s. T_A = 2πr_A/v_A = 2π·6,92·10⁶/7,58·10³ ≈ 5,73·10³ s ≈ 95,5 min.
Órbita B (800 km): r_B = 7,17·10⁶ m. v_B = √(3,98·10¹⁴/7,17·10⁶) ≈ 7,45·10³ m/s. T_B = 2π·7,17·10⁶/7,45·10³ ≈ 6,05·10³ s ≈ 100,8 min.
Valoración: la altura crece un factor 1,45 y el periodo solo un factor 1,055. El periodo no es lineal en la altura: T = 2π√(r³/GM), es decir, T ∝ r^{3/2}. Si se duplicara el radio orbital (no la altura, que es pequeña frente a R_T), el periodo se multiplicaría por 2^{3/2} ≈ 2,83. La afirmación confunde además altura con radio orbital: en todas las fórmulas r se mide desde el centro de la Tierra.
2. Determina la energía por unidad de masa necesaria para pasar de la órbita A a la B y compárala con la energía por unidad de masa necesaria para llevar el satélite desde la superficie terrestre hasta la órbita A. ¿Está justificado decir que el cambio de órbita es energéticamente barato?
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La energía mecánica específica de una órbita circular es ε = −GM/(2r). ε_A = −3,98·10¹⁴/(2·6,92·10⁶) = −2,88·10⁷ J/kg. ε_B = −3,98·10¹⁴/(2·7,17·10⁶) = −2,78·10⁷ J/kg. Δε = ε_B − ε_A ≈ +1,0·10⁶ J/kg (para 120 kg, 1,2·10⁸ J).
En la superficie, en reposo: ε_sup = −GM/R_T = −3,98·10¹⁴/6,37·10⁶ = −6,25·10⁷ J/kg. Coste de llegar a la órbita A: Δε = −2,88·10⁷ − (−6,25·10⁷) = 3,37·10⁷ J/kg.
Cociente: 1,0·10⁶/3,37·10⁷ ≈ 0,03, es decir, el cambio de órbita cuesta alrededor del 3 % de la energía de puesta en órbita. La afirmación está justificada: subir 250 km es barato comparado con subir 550 km desde el suelo, porque el pozo gravitatorio ya está casi vencido (el equivalente en Δv de una transferencia de Hohmann es del orden de 130 m/s). Conviene precisar que el coste real de propelente es mayor, porque hay que vencer además el rendimiento del motor y las pérdidas por maniobras.
3. Calcula el campo gravitatorio (peso por unidad de masa) en cada órbita y su relación con el de la superficie, y valora la afirmación de que «en órbita el satélite no pesa, por lo que su masa no influye».
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g = GM/r². g_A = 3,98·10¹⁴/(6,92·10⁶)² = 3,98·10¹⁴/4,79·10¹³ = 8,31 m/s² (84,7 % de g₀). g_B = 3,98·10¹⁴/(7,17·10⁶)² = 3,98·10¹⁴/5,14·10¹³ = 7,74 m/s² (78,9 % de g₀). g_B/g_A = (r_A/r_B)² = 0,931.
Valoración: en órbita el satélite está en caída libre; la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que proporciona exactamente la aceleración centrípeta. Por eso el peso aparente (la reacción normal o el empuje que mediría un dinamómetro solidario) es nulo, pero la fuerza gravitatoria no lo es: vale 120·8,31 ≈ 997 N en A y 929 N en B. La masa se cancela en la dinámica orbital (v y T no dependen de m), pero no en la energía (E = −GMm/2r) ni en la fuerza (F = GMm/r²), ni en el impulso necesario para la maniobra. La frase es, por tanto, mitad verdadera: la masa no influye en v ni en T, pero sí en la energía y en la fuerza.