Cuerda vibrante en el laboratorio: densidad lineal, tensión y batidos
En el laboratorio de un instituto se tensa un hilo de acero de 0,650 m entre dos soportes fijos; el otro extremo pasa por una polea y sostiene una masa de 1,20 kg. Al pulsar la cuerda, el micrófono de un móvil registra un espectro cuya frecuencia fundamental es 148 Hz. El fabricante indica que el acero tiene una densidad de 7850 kg/m³, pero no consta el diámetro del hilo. Un alumno propone repetir la experiencia con otro hilo del mismo acero y doble diámetro, manteniendo la misma masa colgada, y asegura que «sonará exactamente una octava más grave». Para afinar, el grupo compara el sonido con un diapasón de 150 Hz y percibe 2 batidos por segundo; al aumentar ligeramente la tensión, los batidos bajan a 1 por segundo. El profesor pide justificar numéricamente cada conclusión antes de dar por buenos los resultados y advierte que la dirección del cambio de tensión no se ha anotado.
1. Calcula la densidad lineal y el diámetro del hilo e indica la longitud de onda y la velocidad de la onda en la cuerda.
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Con nodos en los dos extremos, la fundamental tiene λ/2 = L: λ = 2L = 2·0,650 = 1,30 m. v = λf = 1,30·148 ≈ 192 m/s. La tensión la da la masa colgada: T = mg = 1,20·9,8 = 11,8 N. De v = √(T/μ): μ = T/v² = 11,8/(192)² = 11,8/3,70·10⁴ = 3,2·10⁻⁴ kg/m. La sección es A = μ/ρ = 3,2·10⁻⁴/7850 = 4,1·10⁻⁸ m², y A = πd²/4 ⇒ d = √(4A/π) = √(5,2·10⁻⁸) ≈ 2,3·10⁻⁴ m ≈ 0,23 mm. El resultado es coherente: 0,23 mm es el orden de magnitud del hilo más agudo de una guitarra, lo que refuerza la validez del modelo de cuerda ideal con nodos en los extremos.
2. Con el hilo de doble diámetro y la misma masa colgada, ¿cuál será la nueva frecuencia fundamental? ¿Qué masa habría que colgar para recuperar los 148 Hz? ¿Se cumple la predicción del alumno?
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Al duplicar el diámetro, la sección se multiplica por 4 y también la densidad lineal: μ′ = 4μ. Con la misma tensión: v′ = √(T/4μ) = v/2 ≈ 96 m/s; como λ no cambia (misma longitud), f′ = v′/λ = 74 Hz = 148/2. El alumno acierta: se baja exactamente una octava, porque f ∝ 1/√μ y μ ∝ d².
Para recuperar 148 Hz hace falta la misma velocidad, es decir, cuadruplicar la tensión: T′ = μ′v² = 4T = 47,1 N, lo que equivale a colgar 47,1/9,8 = 4,80 kg. Comentario práctico: la frecuencia escala como √T y como 1/d; pasar a doble diámetro obliga a cuadruplicar la carga, lo que puede superar la resistencia del hilo o de la polea. Si el objetivo es mantener la nota, es preferible compensar con la longitud o cambiar a un material menos denso.
3. A partir de los batidos, ¿la frecuencia de la cuerda es 148 Hz o 152 Hz? Diseña una comprobación y explica por qué el dato de los batidos, por sí solo, no basta.
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La frecuencia de batido solo da el valor absoluto de la diferencia: |f − 150| = 2 Hz, luego f = 148 Hz o f = 152 Hz. Por sí solo, el dato es ambiguo.
El experimento lo resuelve: al tensar, f aumenta (f ∝ √T). Si los batidos pasan de 2 a 1 Hz, la cuerda se acerca a 150 Hz, luego estaba por debajo: f = 148 Hz y ahora vale 149 Hz. Si al tensar los batidos hubieran subido a 3 Hz, la cuerda estaría por encima (152 Hz).
Comprobación independiente: alargar la parte vibrante o añadir masa baja la frecuencia (f ∝ 1/L y f ∝ 1/√μ). Si al alargar los batidos aumentan, la cuerda está por encima de 150 Hz; si disminuyen, por debajo. Otra verificación es medir f con el análisis espectral del móvil, que ya daba 148 Hz, y usar los batidos solo para comprobar la calibración del micrófono.