Espectrómetro de masas: separación de isótopos y ambigüedad carga-masa
En el laboratorio se monta un espectrómetro de masas con tres etapas: una fuente que ioniza átomos de calcio, un selector de velocidades con E = 3,0·10⁴ V/m y B = 0,15 T perpendiculares entre sí, y una cámara de análisis donde solo actúa un campo magnético B′ = 0,40 T perpendicular a la velocidad. Los iones que salen del selector llevan carga +e = 1,60·10⁻¹⁹ C. Se detectan dos trazas cuyos radios, medidos desde el punto de entrada, son 0,207 m y 0,213 m; la resolución del detector es de 1,0 mm. Un compañero propone duplicar B′ «para separar mejor los isótopos», y otro advierte que en la cámara podrían entrar iones doblemente ionizados o impurezas de la fuente. Sabiendo que las masas atómicas del calcio son 40 u y 41 u (1 u = 1,66·10⁻²⁷ kg), el grupo debe decidir si el montaje permite identificar los isótopos sin ambigüedad y si conviene modificar el campo magnético.
1. Calcula la velocidad de los iones que atraviesan el selector y los radios teóricos de las trayectorias de ⁴⁰Ca⁺ y ⁴¹Ca⁺; compáralos con las trazas observadas y con la resolución del detector.
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En el selector, fuerza eléctrica y magnética se compensan para los iones no desviados: qE = qvB ⇒ v = E/B = 3,0·10⁴/0,15 = 2,0·10⁵ m/s. En la cámara, la fuerza magnética es centrípeta: qvB′ = mv²/r ⇒ r = mv/(qB′), y como v y q son comunes, r ∝ m.
⁴⁰Ca⁺: m = 40·1,66·10⁻²⁷ = 6,64·10⁻²⁶ kg; r = 6,64·10⁻²⁶·2,0·10⁵/(1,60·10⁻¹⁹·0,40) = 1,33·10⁻²⁰/6,40·10⁻²⁰ = 0,207 m. ⁴¹Ca⁺: m = 6,81·10⁻²⁶ kg; r = 1,36·10⁻²⁰/6,40·10⁻²⁰ = 0,213 m.
Los valores teóricos coinciden con las trazas (0,207 m y 0,213 m). La separación es de unos 5 mm, cinco veces la resolución de 1 mm, así que los dos isótopos se resuelven sin dificultad y el de mayor masa describe el radio mayor, como exige r ∝ m.
2. Si se duplica B′ manteniendo el selector, ¿qué ocurre con los radios y con la separación entre las dos trazas? Valora la propuesta del compañero.
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Con B′ = 0,80 T, r = mv/(qB′) se reduce a la mitad: 0,104 m y 0,106 m. La separación también se reduce a la mitad, ≈2,6 mm. La propuesta empeora la situación, no la mejora: aumentar B′ aumenta la curvatura y «aprieta» las trayectorias contra la entrada. La separación relativa Δr/r = Δm/m no cambia (es una propiedad de los isótopos, no del campo); lo único que se gana al reducir B′ es separación absoluta a costa de un radio mayor.
Además, un radio de 10 cm puede quedar por debajo de la ventana de entrada o hacer que los iones choquen con las paredes antes de llegar al detector, y la resolución finita del detector pesa más cuando las trazas están próximas. Si se quiere separar mejor, hay que disminuir B′ (o aumentar v reduciendo B en el selector). El precio es una cámara más voluminosa y una mayor sensibilidad a las inhomogeneidades de un campo débil, por lo que la decisión exige un compromiso.
3. ¿Cómo podría un ion ⁴⁰Ca²⁺ simular la traza de un ion ²⁰Ne⁺? Calcula el radio y propón un criterio experimental para distinguirlos.
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Ambos tienen la misma relación m/q (40/2 = 20/1), así que el selector los acelera a la misma v y el campo B′ los curva al mismo radio: r = 20·1,66·10⁻²⁷·2,0·10⁵/(1,60·10⁻¹⁹·0,40) = 6,64·10⁻²¹/6,40·10⁻²⁰ ≈ 0,104 m, idéntico al del ⁴⁰Ca²⁺.
Un pico a ese radio sería ambiguo, así que hace falta una medida independiente del radio:
- la carga: un ion ²⁺ deposita el doble de carga, lo que se traduce en un impulso de corriente doble en una copa de Faraday;
- la energía cinética: a igual v, E_c = ½mv² vale 8,3 keV para el ⁴⁰Ca²⁺ y 4,1 keV para el ²⁰Ne⁺, diferencia medible con un detector semiconductor;
- la pérdida de energía por unidad de camino, que depende de Z y no solo de m/q. En espectrometría real, esta degeneración se rompe midiendo energía y radio a la vez, o garantizando un único estado de carga en la fuente.