Red de difracción gastada: ¿600 líneas por milímetro o por centímetro?
En la práctica de óptica, un grupo ilumina una red de difracción con una lámpara de sodio (λ = 589 nm) y mide con un goniómetro el ángulo de las franjas respecto del máximo central. La etiqueta de la red está borrada y solo se lee «600 líneas/…». Las medidas son θ₁ = 20,6° para el primer orden y θ₂ = 44,5° para el segundo, con una incertidumbre de apreciación de ±0,5° en cada lectura. Un alumno opina que hay que fiarse de la medida de primer orden «porque el ángulo es más fácil de leer», y otro propone comprobar la red con un puntero láser rojo (632,8 nm) y ver cuántos órdenes aparecen. El profesor advierte que la red podría estar especificada en líneas por milímetro o en líneas por centímetro, y pide decidir cuál de las dos etiquetas es compatible con los datos antes de continuar con el resto de la práctica.
1. Calcula la distancia entre rendijas a partir de cada medida y decide si la red es de 600 líneas/mm o de 600 líneas/cm. Comprueba la coherencia de las dos medidas.
Read the worked answer
La red cumple d·sin θ = nλ ⇒ d = nλ/sin θ. Primer orden (n = 1): d₁ = 589·10⁻⁹/sin 20,6° = 589·10⁻⁹/0,3518 = 1,674·10⁻⁶ m. Segundo orden (n = 2): d₂ = 2·589·10⁻⁹/sin 44,5° = 1,178·10⁻⁶/0,7009 = 1,681·10⁻⁶ m. Los dos valores coinciden dentro de un 0,4 %, lo que confirma que la asignación de órdenes es correcta.
Densidad de líneas: N = 1/d ≈ 1/1,68·10⁻⁶ = 5,96·10⁵ líneas/m ≈ 596 líneas/mm. Si la etiqueta fuera 600 líneas/cm, d = 1,667·10⁻⁵ m y el primer orden aparecería a sin θ = 589·10⁻⁹/1,667·10⁻⁵ = 0,0353, es decir, θ ≈ 2,0°, incompatible con los 20,6° medidos. Conclusión: la etiqueta es 600 líneas/mm y el valor medido (596 líneas/mm) es compatible con ella dentro del error experimental.
2. ¿Cuál de los dos órdenes proporciona un valor más preciso de d? Cuantifícalo propagando la incertidumbre de ±0,5°.
Read the worked answer
De d = nλ/sin θ, tomando logaritmos: ln d = ln(nλ) − ln(sin θ) ⇒ δd/d = |cot θ|·δθ, con δθ en radianes (0,5° = 8,7·10⁻³ rad).
Primer orden: cot 20,6° = 2,66 ⇒ δd/d = 2,66·8,7·10⁻³ = 2,3 %, es decir, ±0,04·10⁻⁶ m. Segundo orden: cot 44,5° = 1,02 ⇒ δd/d = 0,89 %, es decir, ±0,015·10⁻⁶ m.
El segundo orden es unas 2,6 veces más preciso, justo lo contrario de lo que intuye el alumno: la sensibilidad de d frente a un error en θ depende de cot θ, máxima cerca de 0° y mínima cerca de 45°, porque el seno cambia muy despacio con el ángulo en esa zona. Conviene por tanto trabajar con órdenes altos, siempre que el ángulo no se acerque a 90°, donde sin θ se satura y las lecturas vuelven a ser imprecisas. Combinando ambas medidas con pesos 1/σ² resulta d ≈ 1,68·10⁻⁶ m.
3. Con luz blanca (400–700 nm) y la red anterior, ¿se solapan los órdenes? Calcula el máximo orden observable para 400 nm y para 700 nm y decide si el segundo orden se superpone al primero.
Read the worked answer
El orden máximo cumple n ≤ d/λ. λ = 400 nm: n ≤ 1,68·10⁻⁶/4,00·10⁻⁷ = 4,2 ⇒ se ven 4 órdenes. λ = 700 nm: n ≤ 2,4 ⇒ se ven 2 órdenes.
Primer orden del rojo (700 nm): sin θ = 700·10⁻⁹/1,68·10⁻⁶ = 0,417 ⇒ θ = 24,6°. Segundo orden del violeta (400 nm): sin θ = 2·400·10⁻⁹/1,68·10⁻⁶ = 0,476 ⇒ θ = 28,5°.
Como 28,5° > 24,6°, el segundo orden empieza más allá del extremo rojo del primero: el primero va de 13,8° (violeta) a 24,6° (rojo) y el segundo de 28,5° a 56,4°. Primero y segundo orden no se solapan en este intervalo. Sin embargo, el tercer orden solo existe para λ ≤ d/3 = 560 nm, y su extremo violeta cae en sin θ = 3·400/1680 = 0,714, θ = 45,6°, dentro del intervalo del segundo orden: el tercer orden sí se superpone al segundo.