Campo gravitatorio y mecánica
El bloque de gravitación de la PAU valenciana evalúa el cálculo de intensidades de campo, potenciales, energías y velocidades orbitales, además de las leyes de Kepler y la conservación del momento angular. Los enunciados habituales piden comparar dos puntos del campo o calcular el trabajo necesario para cambiar de órbita, por lo que conviene dominar tanto el álgebra vectorial como el significado físico de los signos.
Leyes y expresiones clave
- Ley de gravitación: F = G·m₁·m₂/r², central y atractiva; G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².
- Intensidad de campo: g = −GM/r² û (dirigida al centro), módulo g = GM/r². En la superficie, g₀ = GM/R².
- Potencial: V = −GM/r, escalar, nulo en el infinito. Se superpone como escalar (ΣVᵢ); el campo se superpone como vector (Σgᵢ).
- Energía potencial U = −GMm/r; en órbita circular E = −GMm/(2r), es decir E = −E_c y E = 2U.
- Velocidad orbital v = √(GM/r); velocidad de escape v_e = √(2GM/R), independiente de la masa del proyectil.
- Tercera ley de Kepler: T² = (4π²/GM)·a³, con a el semieje mayor.
- Interior de una esfera homogénea: g = GMr/R³ (crece linealmente), V = −GM(3R² − r²)/(2R³).
- Trabajo del campo: W_campo = −ΔU = −m·ΔV; el trabajo externo es el opuesto.
Ejemplo resuelto
Un satélite de 500 kg pasa de una órbita circular de radio 2R_T a otra de radio 4R_T (R_T = 6,37·10⁶ m; GM_T = 3,98·10¹⁴ N·m²/kg).
ΔE = E₂ − E₁ = −GMm/(2r₂) + GMm/(2r₁) = (GMm/2)·(1/r₁ − 1/r₂) = (GMm/2)·(1/2R_T − 1/4R_T) = GMm/(8R_T).
Sustituyendo: 3,98·10¹⁴ · 500/(8 · 6,37·10⁶) ≈ 3,9·10⁹ J. El resultado es positivo porque el motor debe aportar energía; compruébese que E₁ = −1,56·10¹⁰ J y E₂ = −7,8·10⁹ J, ambas negativas (sistema ligado).
Errores que cuestan nota
- Escribir la energía orbital sin el signo negativo o interpretar que "más energía" significa valor numérico mayor siendo negativo.
- Medir r desde la superficie del astro en lugar de desde su centro.
- Confundir g (vector, N/kg) con V (escalar, J/kg) o sumar potenciales vectorialmente.
- Creer que la velocidad de escape depende de la masa del satélite o del ángulo de lanzamiento.
- Usar en Kepler la masa del satélite en vez de la del cuerpo central.
- No justificar el balance energético con W = −ΔU.