Mathématiques pour l'informatique
L'épreuve de Mathématiques pour l'informatique (E3) vérifie que le candidat sait modéliser un problème informatique avec des outils mathématiques : logique et algèbre de Boole, numération, suites et fonctions, probabilités et statistiques, calcul matriciel, graphes, arithmétique modulaire.
Les outils attendus
- Numération : conversions binaire / décimal / hexadécimal, complément à deux pour les entiers signés.
- Booléen : tables de vérité, lois de De Morgan, simplification d'équations logiques.
- Probabilités : conditionnement, indépendance, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
- Statistiques : moyenne, médiane, écart-type, ajustement affine.
- Graphes : matrice d'adjacence, degrés, plus court chemin (Dijkstra), coloration.
- Arithmétique modulaire : congruences, inverse modulaire, base du chiffrement RSA.
Exemple raisonné : le filtre anti-spam
Un filtre traite un flux où 5 % des courriels sont des spams. Il détecte 90 % des vrais spams, mais classe aussi à tort 2 % des courriels légitimes. Un courriel est détecté : quelle est la probabilité qu'il soit vraiment un spam ? On pose S = « spam », D = « détecté ». P(S) = 0,05 ; P(D|S) = 0,90 ; P(D|non S) = 0,02. Probabilités totales : P(D) = 0,05 × 0,90 + 0,95 × 0,02 = 0,045 + 0,019 = 0,064. Bayes : P(S|D) = 0,045 / 0,064 ≈ 0,703, soit environ 70 %. Près de 30 % des alertes sont donc des faux positifs : c'est l'argument chiffré qui justifie une vérification humaine avant blocage automatique.
Les pièges
Confondre P(A|B) et P(B|A) ; oublier la probabilité de base (fréquence réelle des spams) ; utiliser la moyenne quand la médiane est pertinente (valeurs extrêmes) ; se tromper de sens dans une conversion hexadécimale ; avec un langage qui renvoie un modulo négatif (Java, C), corriger par ((a % n) + n) % n ; annoncer un résultat sans unité ni arrondi cohérent.