Mathématiques et statistiques
L’épreuve de mathématiques et statistiques porte sur l’analyse, l’algèbre, les probabilités et la statistique descriptive. La clarté du calcul et la justification des hypothèses comptent autant que le résultat.
Règles
- Étudier le domaine de définition avant de simplifier.
- Dérivée : le signe de f′ donne les variations ; f′(x)=0 ne suffit pas à conclure à un extremum.
- Probabilités conditionnelles : P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Formule de Bayes pour inverser le conditionnement.
- Statistique : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane est robuste ; variance et écart-type mesurent la dispersion.
Exemple travaillé
Une maladie touche 1 % d’une population. Un test a une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 %. Quelle est la probabilité d’être malade sachant que le test est positif ? Soit M = malade, T+ = test positif. P(M)=0,01 ; P(T+|M)=0,95 ; P(T+|non M)=0,10. P(T+)=0,95×0,01 + 0,10×0,99 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085. P(M|T+)=0,0095/0,1085 ≈ 0,0876, soit environ 8,8 %. Raisonnement : le test positif ne signifie pas 95 % de chance d’être malade, car la maladie est rare et les faux positifs nombreux. Il faut pondérer par la prévalence.
Pièges
Oublier le dénominateur dans une probabilité conditionnelle ; confondre moyenne et médiane ; conclure à un extremum sans changement de signe ; arrondir trop tôt ; ignorer les unités.