Prova preliminare: quando conviene indovinare
Un candidato affronta la prova preliminare: 100 quesiti a risposta multipla con 5 opzioni e una sola risposta corretta, 70 minuti di tempo, punteggio +1 per risposta esatta, −0,25 per risposta errata, 0 per risposta omessa; accede alle prove successive chi totalizza almeno 60 punti. A 45 minuti dall'inizio ha già risposto a 68 quesiti: 52 corretti e 16 errati. Restano 25 minuti e 32 quesiti non ancora letti: 12 di logica e comprensione, 20 di cultura generale. Dalle simulazioni casalinghe sa che sui quesiti di logica la sua percentuale di risposte esatte è del 75%, su quelli di cultura generale del 30%; impiega in media 50 secondi per i primi e 35 secondi per i secondi. Non può tornare sui quesiti già chiusi. Il candidato vuole massimizzare la probabilità di superare la soglia, non il punteggio in sé.
1. Calcola il punteggio maturato e la soglia di convenienza di una risposta indovinata. Che cosa implica per i quesiti di cultura generale?
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Punteggio attuale: 52 esatte − (16 × 0,25) = 52 − 4 = 48 punti. Mancano 12 punti netti alla soglia, con 32 quesiti ancora disponibili.
Soglia di indifferenza: il valore atteso di una risposta data a caso con probabilità p di essere esatta è
EV = p·(+1) + (1−p)·(−0,25) = 1,25p − 0,25
che è positivo solo se p > 0,20. Con 5 opzioni e zero conoscenza p = 0,20, quindi EV = 0: rispondere è indifferente rispetto a omettere. Se si riesce a escludere almeno un'opzione, p = 0,25 e EV = +0,06 per quesito: conviene rispondere.
** applicazione:** la resa storica del 30% sui quesiti di cultura generale è sopra la soglia (EV ≈ +0,125), quindi rispondere conviene in media. Il punto è distinguere i quesiti in cui «si sa qualcosa» (probabilità 30%: rispondere) da quelli in cui non si sa nulla e non si esclude nessuna opzione (EV zero): lì rispondere non alza la media, alza solo la dispersione dei risultati. Poiché la media attesa è sotto la soglia, un po' di dispersione non è nemica: serve a creare la coda alta necessaria a superare i 60.
2. Con i 25 minuti residui, quanti quesiti riesce effettivamente a trattare e in quale ordine? Qual è il guadagno atteso finale?
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Calcolo del tempo: i 12 quesiti di logica costano 12 × 50 s = 600 s = 10 minuti. Restano 900 s per la cultura generale, sufficienti a 900/35 ≈ 25 quesiti, ma ne restano solo 20, pari a 700 s ≈ 11,7 minuti. Totale ≈ 21,7 minuti: restano circa 3 minuti di margine per la lettura delle istruzioni finali e il controllo delle risposte registrate.
Ordine: prima i 12 di logica, poi i 20 di cultura. Motivo: la logica ha il miglior rapporto punti/tempo (50 s con resa 75%) e la resa più alta, quindi mette al riparo da un eventuale rallentamento; la cultura generale è la parte che può essere sacrificata senza perdere certezze.
Guadagno atteso:
- Logica: 12 × 0,75 = 9 esatte, 3 errate → 9 − 0,75 = +8,25
- Cultura: 20 × 0,30 = 6 esatte, 14 errate → 6 − 3,5 = +2,5
Totale atteso: 48 + 10,75 = 58,75 punti, cioè 1,25 punti sotto la soglia. La conclusione operativa è che la soglia è raggiungibile ma non garantita: il candidato non deve «correre» sull'ultima parte, perché ogni errore non necessario costa 0,25 e ogni omissione intelligente su un quesito totalmente ignoto non costa nulla.
3. A 5 minuti dalla fine ha 57 punti e 4 quesiti da leggere: due li ha ridotti a 2 opzioni possibili, due gli sono totalmente ignoti. Che cosa fa, e perché?
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Fabbisogno: da 57 a 60 servono 3 punti netti. Su 4 quesiti il massimo è +4; con 3 esatte e 1 errata si ottengono 3 − 0,25 = 2,75 (non basta), con 3 esatte e 1 omessa esattamente +3. Quindi la soglia si tocca solo se si indovina quasi tutto.
Valore atteso:
- quesito ridotto a 2 opzioni: EV = 0,5 − (0,5 × 0,25) = +0,375 ciascuno → rispondere è chiaramente conveniente;
- quesito totalmente ignoto: EV = 0 → indifferente.
Decisione: rispondere subito ai due quesiti a 2 opzioni (sono quelli che «pagano»), poi rispondere anche agli altri due. La scelta sui quesiti ignoti non si giudica sull'EV (nullo), ma sull'obiettivo: con la media attesa sotto soglia, omettere rende il raggiungimento dei 60 quasi impossibile, mentre tentare mantiene aperta la coda alta (3 corrette su 4) senza deteriorare il valore atteso. Se invece il candidato fosse già a 61 punti, l'omissione sui quesiti ignoti sarebbe la scelta corretta, perché proteggerebbe il risultato acquisito.